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Das mathematisclie Kontinuiim. 



Ich sage von einer Mannigfaltigkeit, sie bilde ein mathe- 

 matisclies Kontinuum, wenn auf Grund irgend einer Vorschrift 

 zwischen jedem Elemente und jeder Teilmenge derselben eine und 

 nur eine der beiden Beziehungen besteht: a) das Element ist in 

 bezug .auf die Teilmenge isoliert; b) das Element ist eine Ver- 

 dichtungsstelle der Teilmenge, und dabei folgende Grundsätze 

 befriedigt werden: 



1. In bezug auf eine Teilmenge, die aus einer endlichen An- 

 zahl von Elementen besteht, ist jedes Element isoliert. 



2. Ist ein Element Verdichtungsstelle einer Teilmenge, so ist 

 es auch Verdichtungsstelle einer jeden weiteren Teilmenge., in 

 welcher jene Teilmenge enthalten ist. 



3. Wird eine Teilmenge in zwei weitere Teilmengen zerlegt^ 

 so ist jedes Element, das Verdichtungsstelle jener Teilmenge ist, 

 zugleich Verdichtungsstelle wenigstens einer jener Teilmengen. 



4. Ist Ä eine Verdichtungsstelle der Teilmenge t und J5 ein 

 von Ä verschiedenes Element, so gibt es eine weitere Teilmenge 

 #* von t, in bezug auf welche Ä Verdichtungsstelle, B aber 

 isoliert ist. 



Eine Punktmannigfaltigkeit liefert das einfachste Beispiel 

 eines mathematischen Kontinuums. Die vermittelnde Vorschrift 

 kann dabei verschieden sein; sie kann z. B. auf dem Begriffe der 

 Distanz, wie auch auf dem Begriffe des Ordnungstypus beruhen. 

 Ein allgemeineres Beispiel liefern die einfachen und mehrfachen 

 Ordnungstypen. Für die Behandlung der Funktionenmannigfaltig- 

 keiten reichen auch die Odnungstypen nicht aus; es muß je nach 

 der Art der Problemstellung der Begriff der Reihenkonvergenz, 

 oder auch der gleichmäßigen Konvergenz, oder endlich eine zweck- 

 mäßige Verallgemeinerung des Distanzbegriffes herangezogen 

 werden; je nach den Vorschriften wechselt dann auch eventuell 

 die Art der Verdichtung, d. h. Elemente, die auf Grund der einen 

 Vorschrift isoliert in bezug auf eine Teilmenge sind, können auf 

 Grund einer andern Vorschrift derselben Teilmenge als Verdich- 

 tungsstellen zugeordnet werden. Ein Beispiel der Anwendung 

 verschiedener Vorschriften auf dieselbe Mannigfaltigkeit liefern 



