DIE GENESIS DES EAUMBEGEIFFS. 319 



die Begriffe der scliwachen und starken Extrema in der Varia- 

 tionsreciinung, deren scharfe Unterscheidung für jene Wissenschaft 

 von grundlegender Bedeutung ist. 



Lassen sich die Elemente zweier mathematischer Kontiuua 

 einander eindeutig umkehrbar derart zuordnen, daß jedes beliebige 

 Element und [ede beliebige Teilmenge des einen Kontinuums und 

 das entsprechende Element und die entsprechende Teilmenge des 

 anderen Kontinuums in derselben Beziehung zueinander stehen, 

 so sao-e ich, die beiden Kontinua seien ähnlich verdichtet. 

 Das Gemeinsame aller mathematischen Kontinua, die einander ähn- 

 lich verdichtet sind, nenne ich ihren Verdichtungstypus. Nach 

 dem Beispiele der Cantoe sehen Definition des Ordnungstypus 

 könnte der Verdichtungstypus als der Allgemeinbegriff definiert 

 werden, der entsteht, wenn man von der Beschaffenheit der Ele- 

 mente abstrahiert, die Beziehungen zwischen Elementen und Teil- 

 mengen aber beibehält. 



Ich nenne irgend ein Element des mathematischen Konti- 

 nuums Hauptelement, wenn es Verdichtungsstelle irgend einer 

 Teilmenge ist. 



Ich sage von einer Teilmenge des mathematischen Konti- 

 nuums, sie sei eine Umgebung des Elementes A, wenn sie Ä 

 enthält, und überdies Ä in bezug auf die Komplementärmenge 

 isoliert ist. Für ein Element, das nicht Hauptelement ist, ist 

 jede Teilmenge, die es enthält, eine Umgebung. Aus Grundsatz 

 3. folgt, daß falls das Element Ä eine Verdichtungsstelle 

 •-der Teilmenge t ist, es auch Verdichtungssstelle ist für 

 jede weitere Teilmenge von t, die durch eine Umgebung 

 des Elementes aus t ausgeschieden wird. Aus Grundsatz 1. 

 folgt dann, daß jede Umgebung des Elementes A unend- 

 lich viele Elemente der Teilmenge t enthält. Der Satz 

 läßt sich umkehren. 



Sind^f^, u^f ■■■,u^ eine endliche Anzahl vonUmgebungen 

 des Elementes A, so ist die Gesamtheit der Elemente, 

 die allen n Umgebungen gemeinsam sind, ebenfalls eine 

 Umgebung von^. Der Satz folgt aus den Grundsätzen 2. und 3. 

 mittels vollständiger Induktion. 



Je nach der Art der Problemstellung, welche ein gewisses 



