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matliematisclies Kontinuum betriflFt, wird es oft vorteilhaft sein, 

 den Begriff der Umgebung zweckmäßig zu spezialisieren. So z. B. 

 benützen wir in der Theorie der Punktmannigfaltigkeiten kugel- 

 artige, würfelartige, bei projektiver Grundlegung eventuell tetrae- 

 drale Umgebungen.* Yon einem System spezieller Umgebungen 

 sage ich, es sei ausreichend, wenn es zu jeder Umgebung eines 

 jeden Hauptelementes eine spezielle Umgebung des Elementes 

 gibt, die in ihr enthalten ist. So z. B. bildet für den Punktraum 

 die Gesamtheit der Kugeln mit rationalen Mittelpunkten und 

 rationalen Radien ein abzählbares, ausreichendes System spezieller 

 Umgebungen. 



Ein Element Ä einer Teilmenge t heiße inneres Ele- 

 ment der Teilmenge, wenn diese eine Umgebung des Elementes 

 bildet, wenn also das Element keine Verdichtungsstelle der Kom- 

 plementärmenge ist; jedes Element der Teilmenge, das Ver- 

 dichtungsstelle in bezug auf die Komplementärmenge ist, nenne 

 ich Randelement der Teilmenge. Die Teilmena-e heiße offen, 

 wenn sie nur aus inneren Elementen besteht. 



Die Gesamtheit der Raudelemente der Teilmenge t und ihrer 

 Komplementärmenge nenne ich die Grenze der Teilmenge. Zwei 

 Teilmengen, die Komplementärmengen für einander sind, haben 

 ihre Grenze gemein. 



Das mathematische Kontinuum heiße zusammenhängend, 

 wenn es nicht in zwei offene Teilmengen zerlegt werden kann, 

 die Komplementärmengen für einander sind. 



Die Gesamtheit der Verdichtungsstellen der Teilmenge t 

 nenne ich ihre Ableitung; ich bezeichne sie durch t'.** Die 

 Vereinigungsmenge der Mengen f und t' bezeichne ich durch [t,f]. 



Zwei Teilmengen ohne gemeinsames Element heißen in bezug 

 aufeinander separiert. 



* Für die Vertiefung der Lehre über Irrationalzahlen gebraucht 

 R. Baire mit Erfolg spezielle Umgebungen, die auf der Kettenbruchent- 

 wicklung jener Zahlen benihen. (^Sur ia theorie des ensembles; Sur la theorie 

 des fonctions discontinues, Comptes Eendus 1899 (2)). 



** Es ist nicht notwendig t" ^ (*')' in t' enthalten. Die Abgeschlossen- 

 lieit der Ableitung, die doch für die Theorie der Punktmengen eine so 

 fruchtbare Prämisse ist, muß somit in einer allgemeinen Theorie der ma- 

 thematischen Kontinua vermißt werden. 



