322 FRIEDRICH RIESZ. 



Menge t* in zwei Teilmengen t\ und t\ derart, daß t\ nur Ele- 

 mente aus ^1, tl nur Elemente aus t^ enthält. Beide Teilmengen 

 enthalten wenigstens je ein Element, nämlich A^, resp. A^. Da 

 nun die Menge t* absolut zusemmenhängend ist, so gibt es 

 wenigstens ein Element B, das einer . der Teilmengen t\ , t^ an- 

 gehört und zugleich Verdichtungsstelle der andern ist. Laut 

 Grundsatz 2. steht dann das Element JB in derselben Beziehung 

 zu den Teilmengen t^ und ^2 5 ©s gehört der einen an und ist 

 Verdichtungsstelle der andern. Das mathematische Kontinuum 

 ist somit zusammenhängend. 



Weitere Begriffe, die der Theorie der Punktmengen eigen 

 sind, wie auch tiefer liegende Begriffsbildungen, die für eine iso- 

 lierte Theorie der Punktmengen keine Bedeutung haben, lassen 

 sich leicht entwickeln und bilden dann die Grundlage für eine 

 allgemeine Theorie der Verdichtungstypen.* In dieser Arbeit 

 will ich nur jene Begriffe heranziehen, deren Verwendung für 

 das zu behandelnde Problem von Nutzen erscheint. Außer den 

 schon behandelten Begriffen sind dies die Begriffe des Ordnungs- 

 typus und der stetigen Abbildung. 



Der Begriff des mathematischen Kontinuums resp. jener des 

 Verdichtungstypus erscheint meines Wissens in diesen Unter- 

 suchunsen das erste Mal in voller Allgemeinheit. In der Ana- 

 lyse der entsprechenden Begriffsbildungen bin ich etwas weiter 

 gegangen, als dies für die Zwecke des zu behandelnden Problems 

 notwendig ist. Ich wollte nicht die Gelegenheit unbenutzt lassen, 

 die sich mir dargeboten hat, auf die wichtige systematisierende 

 Rolle hinzuweisen, zu welcher meines Erachtens der Begriff des 

 Verdichtungstypus in der Mathematik berufen ist. 



* Vor einer gründlichen Untersucliung mannigfacher Klassen spezieller 

 Verdichtungstypen wäre ein Versuch einer allgemeinen Theorie der Ver- 

 dichtungstypen — glaube ich — verfrüht. Eine ausgedehnte Klasse von 

 Verdichtungstypen hat M. Frechet untersucht, jene Verdichtungstypen, 

 nämlich in denen es für jedes Hauptelement eine abzählbare Folge von Ele- 

 menten gibt, die gegen das Hauptelement konvergiert. Besonders interes- 

 sante Resultate ergeben sich für Verdichtungstypen, für welche ein Begritf 

 des „ecart"' konstruiert werden kann. (Comptes ßendus, 21 novembre 1904, 

 2 janvier 1905, 20 mars 1905). 



