DIE GENESIS DES RAUMBEGRIFFS. 331 



ist das System widerspruchsfrei; denn es können auf mannigfache 

 Weise Systeme von Dingen definiert werden, die durch reelle 

 Zahlen beschreibbar sind und sämtlichen Voraussetzungen ge- 

 nügen* 



Ich definiere nun den mathematischen Punkt als eine 

 unendliche Reihe a,,^, (('m + i, cim + 2f ■ • ■ ^^^^ physikalischen Punkten, 

 für welche sich die Ordnungszahlen der aufeinander folgenden 

 Punkte stets um 1 unterscheiden, jeder physikalische Punkt den 

 auf ihn folgenden enthält, und in welcher für jedes n eigentliche 

 physikalische Punkte höherer als der nten Ordnung vorkommen. 



Die Existenz mathematischer Punkte folgt aus den Voraus- 

 setzungen 1) und 11). 



Ist Ä = {«„,, a.,^ + 1, ■■•} der durch die Reihe a„^, a^ + i, • • • 

 definierte mathematische Punkt, und ist a^ ein Element der Reihe, 

 so sage ich, der mathematische Punkt Ä sei in dem physikalischen 

 Punkte a enthalten. 



Ich sage, die beiden mathematischen Punkte J.::^ { a„j, ^m + u ■ ■ •) 

 und.B;^(&„,6,j_j.i,...} seien identisch, wenn fürjedesiV(iV^m,JV^w) 

 die Punkte a^ und &^ ununterscheidbar oder identisch sind. Ich 

 bezeichne die Identität der Punkte A und B durch: A^^ B. Aus 

 der Definition der Identität folgt: 1) J. = jB; 2) Ist J. = 5, so 

 ist auch B^^A. Aus Voraussetzung 12) folgt: Ist J. = .B und 

 B ^^ C, so ist auch 4 = 0. 



Ich sage, die beiden mathematischen Punkte A und B seien 

 verschieden, wenn sie nicht identisch sind. 



* So z. B. können als eigentliche physikalische Punkte nter Ordnung 

 jene Kreise der Zahlenebene angenommen werden, für welche die Koordi- 

 naten des Mittelpunktes Multipla von -^- und kleiner als n sind, der 



Radius -^ ist, als uneigentliche aber Kreise, die schon für irgend ein 



m <^ n als eigentliche jDhysikalische Punkte angenommen wurden. Es kann 

 dann noch gewissermaßen frei über die Beziehungen „unterscheidbar, resp. 

 ununterscheidbar" und „enthalten" verfügt werden. Man kann z. B. an- 

 nehmen, daß zwei physikalische Punkte derselben Ordnung für unterscheidbar 

 gelten, wenn die beiden Kreise keinen Punkt gemein haben, und daß ein 

 physikalischer Punkt in einem niederer Ordnung enthalten sei, wenn dies 

 für die Kreise im gewöhnlichen Sinne stattfindet. 



