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Für das Weitere werden matliematische Punkte, die identisch 

 sind, als ein matliematisclier Punkt betrachtet. Auf Grund der 

 angegebenen Merkmale der definierten Identität ist dies möglich^ 

 ohne daß hierdurch auch verschiedene Punkte als ein Punkt be- 

 trachtet werden müßten. Derselbe mathematische Punkt kann 

 dann durch verschiedene Reihen physikalischer Punkte dargestellt 

 werden. Von jedem physikalischen Punkte, der in einer solchen 

 Reihe vorkommt, sage ich: der mathematische Punkt sei in ihm 

 enthalten. Ich sage von einem mathematischen Punkte, er sei 

 von der n-ten Ordnang, wenn er in einem physikalischen 

 Punkte n-ier Ordnung, jedoch in keinem physikalischen Punkte 

 niederer als der n-ten Ordnung enthalten ist. Die Gresamtheit 

 aller mathematischen Punkte, die in einem eigentlichen physi- 

 kalischen Punkte n-ter Ordnung enthalten sind, nenne ich eine 

 Elementarmenge n-ter Ordnung. Aus den Voraussetzungen 

 2), 11) und 12) folgt, daß in jedem physikalischen Punkte 

 unendlich viele verschiedene mathematische Punkte ent- 

 halten sind; jede Elementarmenge besteht somit aus unendlich 

 vielen verschiedenen mathematischen Punkten. Es gilt daher der 



Satz IV. Der Raum ist eine transfinite Mannig- 

 faltigkeit mathematischer Punkte. 



Mittels der Voraussetzung 14) folgert man leicht, daß irgend 

 zwei ununterscheidbare physikalische Punkte wenigstens je einen 

 mathematischen Punkt enthalten, die identisch sind. Dagegen 

 folgt aus der Definition der Identität mathematischer Punkte^ 

 daß zwei identische mathematische Punkte nicht in unterscheid- 

 baren physikalischen Punkten derselben Ordnung enthalten sein 

 können. Auf Grrund unseres Übereinkommens können wir somit 

 sagen : 



Zu zwei ununterscheidbaren physikalischen Punkten 

 gibt es wenigstens einen mathematischen Punkt, der in 

 beiden enthalten ist; zu zwei unterscheidbaren physi- 

 kalischen Punkten gibt es keinen solchen Punkt. 



Von irgend zwei mathematischen Punkten, sage ich, sie seien 

 benachbart (m), wenn es eine Elementarmenge n-ter Ordnung, 

 aber keine Elementarmenge höherer Ordnung gibt, die beide 

 Punkte enthält. Zu irgend zwei verschiedenen mathematischen 



