DIE GENESIS DES EAUMBEGKIFFS. 333 



Punkten, die in irgend einer Elementarmenge enthalten sind, gibt 

 es sicher eine Zahl n, so daß die beiden Punkte benachbart (7*) 

 sind. Gibt es keine Elementarmenge, die die beiden Punkte ent- 

 hält, so sage ich, die Punkte seien benachbart (0). 



Um nun den Raum als mathematisches Kontinuum aufzu- 

 fassen, muß ein verdichtendes Prinzip angegeben werden, 

 d. h. ein Prinzip, auf Grund dessen für jeden mathematischen 

 Punkt und jede Menge mathematischer Punkte feststeht, ob der 

 Punkt eine Verdichtungsstelle der Menge oder aber in bezug auf 

 dieselbe isoliert ist. Das verdichtende Prinzip muß, wenn es für 

 den Aufbau des Raumbegriffes nützlich sein soll, auf den psycho- 

 logischen Grundlagen dieses Begriffes beruhen. Es sei A ein 

 mathematischer Punkt und t eine Menge mathematischer Punkte. 

 In dem psychischen Prozesse sind wir an dem n-ien Zeitpunkte 

 angelangt. Gibt es einen physikalischen Punkt n-iex Ordnung, 

 in welchem der Punkt A, wie auch irgend ein von demselben 

 verschiedener Punkt der Menge t enthalten sind, so ist auf dieser 

 Stufe die Identität oder die Verschiedenheit der beiden Punkte 

 noch nicht entschieden: im n-ien Zeitpunkte kann der Punkt A 

 mit einem von ihm verschiedenen Punkte der Menge t verwechselt 

 werden. Nehmen wir nun an, daß von irgend einem n an in 

 jedem Zeitpunkte sich derselbe Fall wiederholt; und setzen wir 

 zunächst, der Punkt A gehöre der Menge nicht an. Es ist dann 

 zu jedem endlichen Zeitpunkte unentschieden, ob der Punkt A der 

 Menge t angehört oder nicht; ich sage dann, der Punkt A sei 

 eine Verdichtungsstelle der Menge t. Der Grundsatz 2) für mathe- 

 matische Kontinua dehnt dann den Begriff der Verdichtungsstelle 

 auch auf den Fall aus, wo der Punkt A der Menge t angehört. 



Das verdichtende Prinzip ist somit das folgende: Der Punkt A 

 ist eine Verdichtungsstelle der Menge t, wenn es für jede 

 Zahl n wenigstens einen Punkt der Menge gibt, der zu A be- 

 nachbart (^p) ist, wo p~^ n] anderenfalls ist der Punkt A in be- 

 zug auf die Menge t isoliert. 



Es folgt nun leicht, daß, falls der Punkt A auf Grund der 

 gegebenen Definition eine Verdichtungsstelle der Menge t ist, es 

 für jedes n unendlich viele Punkte der Menge gibt, welche zu A 

 von höherem Grade als n benachbart sind. 



