334 FEIEDKICH RIESZ. 



Es leuchtet unmittelbar ein, daß das gegebene Verdiehtungs- 

 prinzip die ersten drei Grundsätze für matheniatisehe Kontinua 

 befriedigt. Aus dem nächst zu beweisenden Satze folgt dann^ 

 daß es auch dem Grundsatze 4) genügt. 



Satz V. Ist der Punkt Ä eine Yerdichtungsstelle 

 der Menge t, dann gibt es eine abzählbare Teilmenge der 

 Menge t, für welche A die einzige Häufungsstelle ist. 



Es gibt nämlich eine erste Zahl ii-^ und einen entsprechenden 

 Punkt A^ der Menge t^ so daß A und A^ benachbart (n^) sind. 

 Es gibt dann eine erste Zahl n^ > n^^ und einen entsprechenden 

 Punkt A2 der Menge t, so daß A und A^ benachbart (n^) sind. 

 Die Reihe der Zahlen n^, n^, ■ . . und die Reihe der entsprechenden 

 Punkte A^, A^, . . . lassen sich beliebig fortsetzen. Es gibt somit 

 jedenfalls eine unendliche Reihe stets wachsender Zahlen n- und 

 eine entsprechende Reihe von Punkten A., so daß die Punkte A 

 und A. benachbart (wj sind.* Der Punkt A ist eine Ver- 

 dichtungsstelle der Reihe A^, A^, . . . Gäbe es nun einen von A 

 verschiedeneu Punkt A* , der ebenfalls Verdichtungsstelle der 

 Reihe wäre, so könnte man aus derselben eine Reihe A^. , A,, . . . 

 auswählen, wo die k- stets wachsende Zahlen sind, und es exi- 

 stierten zwei Reihen t'i, r^, . . . und s^, Sg, . . . stets wachsender 

 Zahlen, so daß A und A/., benachbart (r-), A* und Aj,_ benach- 

 bart s- wären. Dann aber gäbe es für jede beliebig große Zahl n 

 zwei ununterscheidbare physikalische Punkte, die in eigentlichen 

 physikalischen Punkten höherer als der wten Ordnung enthalten 

 sind, derart, daß der eine Punkt den Punkt A, der andere den 

 Punkt A* enthält. Dies aber wäre zufolge der Voraussetzungen 

 12) und 15) nur in dem Falle möglich, wenn A und A* iden- 

 tisch wären. 



* Ich beweise nur die Existenz der Reihe Aj^, A , . . .; die Reihe selbst 

 ist nicht eindeutig festgelegt. Wären wir im Besitze eines Prinzips, mit 

 dessen Hilfe unsere Empfindungen nach dem Typus iv , oder wenigstens 

 wohlgeordnet werden könnten, dann könnte auf Grund desselben eine be- 

 stimmte Reihe A^, A.^, ■ . . ausgezeichnet werden. In Ermangelung eines 

 derartigen Prinzipes mußte ich mich mit der benutzten Beweisart begnügen, 

 die doch auch sonstigen mengentheoretischen Untersuchungen geläufig ist. 

 Siehe diesbezüglich: F. Bernstein, Bemerkung zur Mengenlehre, Gott. 

 Nachr. 1904, p. G. 



