DIE GENESIS DES RAUMBEGRIFFS. 335 



Auf diese Weise habe ich den Raum als mathematisches 

 Kontinuum definiert; eine erste wichtige Eigenschaft dieses mathe- 

 matischen Kontinuums habe ich in Satz Y ausgesprochen. Zu- 

 nächst wird nun die Frage zu beantworten sein, welche weitere 

 charakteristische Eigenschaften dieses mathematischen Kontinuums 

 aus unseren Voraussetzungen folgen? 



Der Bolzano-Weierstraßsche Satz. 



Von einer Menge mathematischer Punkte (kurzwegs Punkt- 

 menge) sage ich, sie sei im Endlichen gelegen, wenn die 

 Ordnung aller ihrer Punkte unterhalb einer endlichen Grenze 

 liegt. Jede Menge einer endlichen Anzahl von Punkten, wie auch 

 jede Elementarmenge ist sicher im Endlichen gelegen. Die Ver- 

 einigungsmenge einer endlichen Anzahl von Mengen, die im End- 

 lichen gelegen sind, Avie auch jede Teilmenge einer im Endlichen 

 gelegenen Menge, sind ebenfalls im Endlichen gelegen. 



Satz VI. Für jede im Endlichen gelegene Menge, die 

 unendlich viele Punkte enthält, gibt es wenigstens einen 

 Punkt, der Verdichtungsstelle der Menge ist. 



Beweis: Da die Menge im Endlichen gelegen ist, so gibt es 

 jedenfalls eine Zahl N, die größer ist, als die Ordnungszahl eines 

 jeden Punktes der Menge. Jeder Punkt der Menge ist dann in 

 wenigstens einem physikalischen Punkte iV^ter Ordnung ent- 

 halten. Da nun die Anzahl der physikalischen Punkte Nter 

 Ordnung eine endliche ist, so sind in wenigstens einem derselben 

 unendlich viele Punkte der Menge enthalten. Es sei a„ ein 



O iV 



physikalischer Punkt iVter Ordnung, der unendlich viele Punkte 

 der Menge enthält. Jeder dieser Punkte ist dann auch in wenig- 

 stens einem physikalischen Punkte JSf -{- Iter Ordnung enthalten, 

 der selbst in a,, enthalten ist. Es gibt also wenigstens einen 

 physikalischenPunktiV+ Iter Ordnung, der in a^ enthalten ist und 

 unendlich viele jener Punkte enthält. Gibt es einen eigentlichen 

 physikalischen Punkt iV -j- 1 ter Ordnung dieser Art, so wählen 

 wir einen solchen für a,, , • andernfalls einen uneigentlichen. Wählen 

 wir nach demselben Grundsatze einen Punkt iV^+^ter Ordnung^ 



