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der in ö^^ , ^ enthalten ist, als «^, , 2 usw., so bilden diese Punkte 

 eine abzählbare Reihe ineinander enthaltener Punkte, die infolge 

 der Voraussetzung 13) unendlich viele eigentliche physikalische 

 Punkte enthält, und somit einen mathematischen Punkt Ä. defi- 

 niert.* In jedem der physikalischen Punkte der Reihe sind un- 

 endlich viele Punkte der Menge enthalten, es enthält somit jeder 

 Punkt der Reihe jedenfalls einen Punkt der Menge, der von Ä 

 verschieden ist; A ist somit eine Verdichtungsstelle der Menge. 

 In der Lehre über Zahlenmannigfaltigkeiten (Punktmannig- 

 faltigkeiten) ist das Analogon des eben ausgesprochenen Satzes 

 unter dem Namen BoLZANO-WEiERSTRASSscher Satz bekannt. Ich 

 bezeichne unsern Satz kurzwegs mit demselben Namen. 



Der Borelsclie Satz. 



Von einer im Endlichen gelegenen Punktmenge sage ich, sie 

 sei abgeschlossen, wenn sie alle ihre Verdichtungsstellen ent- 

 ■hält. Für abgeschlossene Panktmengen gilt der 



Satz VII. Jedes System von Punktmengen u, 

 welches die Eigenschaft besitzt, daß es unter den 

 Mengen u für jeden Punkt der abgeschlossenen Menge a 

 wenigstens eine gibt, die eine Umgebung für den Punkt 

 ist, enthält ein endliches Teilsystem von derselben 

 Eigenschaft. 



In der Lehre über Zahlenmannigfaltigkeiten (Punktmannig- 

 faltigkeiten) ist das Analogon des soeben ausgesprochenen Satzes 

 unter dem Namen BoRELscher Satz, richtiger unter dem Namen 

 der verallgemeinerte BoRELsche Satz bekannt. Den hier aus- 

 gesprochenen Satz nenne ich kurzwegs ebenfalls den Borel- 

 schen Satz. 



Um den Satz zu beweisen, definiere ich zunächst den Begriff 

 der ausgezeichneten Umgebung. Ich bezeichne als nie aus- 

 gezeichnete Umgebung des Punktes Ä die Gesamtheit jener Punkte 

 (den Punkt Ä mit inbegriffen), die mit Ä benachbart (Je) sind. 



* Bezüglich der Eindeutiglieit der Bestimmung des Punktes A siehe 

 die zum Beweise des Satzes V gemachte Bemerkung. 



