DIE GENESIS DES EAUMBEGEIFFS. 337 



WO Ti alle Werte > n durchläuft. Es folgt aus der Definition, 

 daß falls m < n, die nie ausgezeichnete Umgehung des Punktes A 

 in der witen enthalten ist. Es ist möglich, daß die mie aus- 

 gezeichnete Umgehung des Punktes A mit der wten identisch ist; 

 jedenfalls folgt aus den Voraussetzungen 1), 3), 4), ll) und) 13, 

 daß es unter den ausgezeichneten Umgebungen des Punktes A 

 nnendlich viel verschiedene gibt. Aus der Definition der benach- 

 barten (Ji) Punkte folgt, daß es keinen von A verschiedenen Punkt 

 gibt, der in allen ausgezeichneten Umgebungen desselben ent- 

 halten wäre. Endlich folgt aus der Definition der Verdichtungs- 

 stelle, daß jede ausgezeichnete Umgebung auch eine Umgebung 

 im früher gebrauchten Sinne ist, und daß jede Umgebung des 

 Punktes A eine ausgezeichnete Umgebung desselben enthält; daß 

 also die ausgezeichneten Umgebungen ein ausreichendes 

 System spezieller Umgebungen bilden. Mittels der Voraus- 

 setzungen 8) und 16) folgert man nun leicht, daß die Anzahl 

 der 7^ten ausgezeichneten Umgebungen der Punkte einer 

 im Endlichen gelegenen Punktmenge eine endliche ist. 

 Da nun jede Elementarmenge im Endlichen gelegen und das 

 System der Elementarmengen abzählbar ist, so ist auch das 

 System der ausgezeichneten Umgebungen abzählbar. 



Es ist nur eine neue Form der Definition der Verdichtungs- 

 stelle, daß der Punkt A dann und nur dann Verdichtungsstelle 

 ' der Menge t heißt, wenn in jeder ausgezeichneten Umgebung des 

 Punktes A wenigstens ein von ihm verschiedener Punkt der 

 Menge t enthalten ist. 



Nun beweise ich den BORELschen Satz wie folgt: Zu irgend 

 einem Punkte A der abgeschlossenen Menge a gibt es unter den 

 Mengen u eine oder mehrere, die Umgebungen für den Punkt 

 sind; in jeder derselben sind ausgezeichnete Umgebungen des 

 Punktes A enthalten. Die ausgezeichnete Umgebung niederster 

 Ordnung des Punktes A, die noch in einer Menge u enthalten 

 ist, ordne ich dem Punkte A zu; ihre Ordnungszahl bezeichne 

 ich durch n{A). Auf diese Weise wird jedem Punkte der ab- 

 geschlossenen Menge eine bestimmte ausgezeichnete Umgebung' 

 nnd eine Zahl n {A) zugeordnet. Ich behaupte, daß die Zahlen 

 n{A) unterhalb einer endlichen Grenze liegen. Anderenfalls 



Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. XXIV. 22 



