338 FRIEDRICH RIESZ. 



gäbe es nämlicli sicher eine iinendliclie Reihe A^, Ä^, ■ . . von 

 Punkten der abgeschlossenen Menge derart, daß die Zahlen 

 ■n(Äj), n(A^), . . . eine stets wachsende Reihe bildeten. Nach dem 

 BoLZANO-WEiEBSTRASSschen Satze gäbe es nun sicher einen 

 Punkt A* , der Verdichtungsstelle der Menge A^, A^, . . . wäre; 

 infolge ihrer Abgeschlossenheit müßte die Menge a den Punkt A* 

 enthalten. Den Voraussetzungen 9), 12) und 15) zufolge gäbe 

 es eine ausgezeichnete Umgebung u* des Punktes A* und eine 

 Zahl p derart, daß die pten ausgezeichneten Umgebungen sämt- 

 licher Punkte von u* in der dem Punkte A* zugeordneten 

 »^(^*)ten ausgezeichneten Umgebung enthalten wären. Anderer- 

 seits würde die Umgebung u* unendlich viele Punkte der Menge 

 A-^,A^, . . . enthalten; sie würde somit jedenfalls auch einen Punkt ^^^ 

 enthalten, für welchen n(A^^ p. Dieses Resultat aber wider- 

 spräche dem Prinzipe, nach welchem die Zahlen n{Ä) ausgewählt 

 wurden; denn die j)te Umgebung des Punktes Aj, mußte auch 

 schon in einer Menge u enthalten sein. Es gibt somit eine end- 

 liche obere Grenze für die Zahlen n{Ä). Die Anzahl der den 

 Punkten der Menge a zugeordneten, voneinander verschiedenen 

 -ausgezeichneten Umgebungen ist daher eine endliche. Wird nun 

 jede derselben durch eine Menge u ersetzt, in der sie enthalten 

 ist, dann ist endlich ein endliches System von Mengen u bestimmt, 

 unter welchen es für jeden Punkt der Menge a wenigstens eine 

 Umgebung gibt. Damit ist der Boreische Satz bewiesen. 



Der Raum ist zusammenhängend. 



Von einer Punktmenge sage ich, sie sei in sich dicht, 

 wenn sämtliche Punkte der Menge zugleich Verdichtungsstellen 

 derselben sind. Aus den Voraussetzungen 1), 3), 4), 11) und 13) 

 folgt, daß jede Elementarmenge in sich dicht ist. Hieraus folgt 

 dann, daß auch der Raum selbst eine in sich dichte Menge ist. 



Jede z^^sammenhängende Menge ist in sich dicht; 

 doch ist nicht, umgekehrt, jede in sich dichte Menge notwendig 

 zusammenhängend. Ich beweise, daß jede Elementarmenge zu- 

 sammenhängend, und zwar absolut zusammenhängend ist. 



Die Elementarmenge e werde in zwei Teilmengen, e^ und e^, 



