DIE GENESIS DES RAUMBEGRIFFS. 339 



zerlegt. Die Menge e^e^-^-e^ ist die Gesamtlieit der in einem 

 gewissen physikalischen Punkte j^ter Ordnung a^ enthaltenen 

 mathematischen Punkte. Die Menge e^ -\- 63 ist in sich dicht; 

 wenn also z. B. die Menge e^ nicht in sich dicht ist^ dann gibt 

 es unter den Punkten derselben wenigstens einen, der Verdichtungs- 

 stelle der Menge e^ ist. In diesem Falle gibt es somit wenigstens 

 einen Punkt, der der einen der Mengen e^ und gg angehört, in 

 hezug auf die andere aber Verdichtungs stelle ist. Demgemäß 

 darf ich mich für weiterhin auf Zerlegungen beschränken, für 

 welche beide Mengen e^ und e^ in sich dicht sind. 



Zufolge der Voraussetzungen 1), 3), 4), 14) und 16) gibt es 

 sicher einen in a^ enthaltenen eigentlichen physikalischen Punkt 

 nier Ordnung a^,, so daß die in a^' enthaltenen mathematischen 

 Punkte teils zu e^, teils zu e^ gehören. Wenn nun die Anzahl 

 der in a^' und in einer der beiden Teilmengen, z. B. in e^ ent- 

 haltenen Punkte eine endliche ist, dann ist jeder solche Punkt 

 eine Verdichtungsstelle der Menge e^. Wenn weder die Anzahl 

 der in a^' und e^, noch jene der in «^' und e^ enthaltenen Punkte 

 eine endliche ist, dann gibt es wieder einen in a^' enthaltenen 

 eigentlichen physikalischen Punkt n'ter Ordnung a^'f, so daß die 

 in demselben enthaltenen mathematischen Punkte teils zu e^, 

 teils zu ßg gehören. 



Es gibt somit entweder einen in a^ enthaltenen physikalischen 

 Punkt, der aus einer der beiden Mengen e^, e^ nur eine endliche 

 Anzahl von Punkten enthält; in diesem Falle sind diese Punkte, 

 da die Menge der in jenem physikalischen Punkte enthaltenen 

 Punkte als Elementarmenge in sich dicht ist, notwendig Ver- 

 dichtungsstellen der andern Teilmenge. 



Oder aber es gibt eine unendliche Reihe ineinander ent- 

 haltener eigentlicher physikalischer Purikte a^, a^ , a^", . . ., von 

 der Eigenschaft, daß jeder physikalische Punkt der Reihe sowohl 

 aus e^, wie auch aus e^ unendlich viele Punkte enthält. Infolge 

 der Voraussetzung 3) wird durch diese Reihe eindeutig ein mathe- 

 metischer Punkt definiert; derselbe gehört der Menge e, also einer 

 der beiden Teilmengen e^^ und e^ an und ist eine Verdichtungs- 

 stelle der beiden Teilmengen. 



Wie man immer also die Elementarmenge in zwei Teil- 



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