DIE GENESIS DES EAUMBEGEIFFS. 341 



Die Beziehungen a <il>, a i\h, a i> h drücke ich in Worten 

 durch folgende Sätze aus: a <i 1): in bezug auf die ^te Rang- 

 ordnung geht das Element a dem Element h voran; a \i\ h: 

 in bezug auf die ite Rangordnung sind a und & ununterscheid- 

 bar; ai^h: in bezug auf die ite Rangordnung folgt a auf h. 

 Wenn a <i h oder a /> ly, so sage ich auch: a und h sind in 

 bezug auf die ite Rangordnung unterscheidbar. Die Gesamtheit 

 der n Beziehungen, die für das Paar a, h maßgebend sind, nenne 

 ich das Rang Verhältnis des Paares a, Ij. 



Ich sage, das physikalische Kontinuum sei in bezug auf 

 die ite Rangordnung zusammenhängend, wenn es für jede 

 Teilung desselben in 2 Klassen wenigstens je ein Element der 

 beiden Klassen gibt, die in bezug auf die ite Rangordnung un- 

 unterscheidbar sind. Ist das physikalische Kontinuum überhaupt 

 zusammenhängend, so ist es auch in bezug auf jede Rangordnung 

 zusammenhängend. Denn es gibt dann für jede Teilung in 

 2 Klassen wenigstens je ein Element der beiden Klassen, die un- 

 unterscheidbar sind; die beiden Elemente sind dann nach Grund- 

 satz 4j in bezug auf jede Rangordnug ununterscheidbar. Eine 

 Umkehrung des Satzes besteht nicht. Es kann ein n fach ge- 

 ordnetes physikalisches Kontinuum in bezug auf jede Rang- 

 ordnung zusammenhängend sein, ohne daß das Kontinuum selbst 

 zusammenhängend wäre. 



Ich nenne das j?-fach geordnete physikalische Kontinuum 

 vollständig, wenn es für jedes beliebige System von w Ele- 

 menten «j, «2, . . ., a^, die nicht verschieden sein müssen, wenig- 

 stens ein Element a gibt, für welches die n Beziehungen a \i\ a- 

 (i = 1, 2, . . ., w) gelten. Das vollständige n-iach geordnete Kon- 

 tinuum heißt ein eigentliches, wenn es in bezug auf jede Rang- 

 ordnung Elemente gibt, die in bezug auf jene Rangordnung unter- 

 scheidbar sind. 



Das mathematische Koutiiiuum als geordnete Menge. 



Die Theorie der mehrfach geordneten Mengen habe ich an 

 anderer Stelle auseinandergesetzt*; hier sollen nur jene Defini- 



* F. RiEsz, Über melirfache Ordnungstypen I, Math. Ann. Bd. 61, p. 406. 



