342 FRIEDRICH RIESZ. 



tionen und Resultate, die für den Zweck dieser Arbeit notwendig 

 sind, wiedergegeben werden. 



Eine Menge heißt »^-facb geordnet, wenn jedes Paar Ä, JB 

 von Elementen und jede der ganzen Zahlen i (i = 1,2, . . . n) 

 eine und nur eine der Beziehungen A<.iB, A^B, Ai^B be- 

 steht, und dabei folgende Grundsätze gelten: 



1) Aus A <i B folgt Bi> A. 



2) Aus A ?> B folgt B <i A. 



3) Aus A <i B, B <i C folgt A <i C. 



4) Für zwei verschiedene Elemente A, B kann nicht A i_B 

 für alle / gelten. 



Aus den Grrundsätzen folgt: 



Ist AHB, so ist auch BZLA. Ist J.XJ5 und B <i C, so 

 ist A <i C. Ist A <i B und BJIC, so ist A <i C. Ist AHB 

 und Bälg, so ist auch A~LC. 



Die Beziehungen A <«" B, AZLB, A ?"> B werden durch fol- 

 gende Sätze ausgedrückt: in bezug auf die ite Rangordnung geht 

 AB voran, in bezug auf die ite Rangordnung sind A und B 

 von gleichem Range; in bezug auf die ?'te Rangordnung folgt 

 A auf B. 



Können zwei «--fach geordnete Mengen umkehrbar eindeutig 

 aufeinander so bezogen werden, daß die Rangverhältnisse erhalten 

 bleiben, so sage ich, die beiden Mengen seien ähnlich ge- 

 ordnet. Das Gemeinsame aller ähnlich geordneten Mengen 

 nenne ich ihren Ordnungstypus. 



Ist A irgend ein Element der geordneten Menge und gibt 

 es i-i Paare B^, O^; B^, Cg; . . .; -B„, C„ von Elementen, welche 

 mit A die Beziehungen 



B. <i A <i C^ (i== 1, . . ., w) 



eingehen, so nenne ich die Gesamtheit der Elemente U, für 

 welche ebenfalls die Beziehungen 



B,<iU<iC, 



gelten, eine spezielle Umgebung des Elementes A. 



Gibt es für ein Element A keine n Paare B , C- von der 

 obigen Art, so läßt sich noch immer eine spezielle Umgebung 

 in weiterem Sinne, eine einseitige spezielle Umgebung des- 



