DIE GENESIS DES RAUMBEGKIFFS. 345 



in etwas anderer Form von G. Cantor* gegeben worden ist, 

 daß jede zusammenhängende, einfach geordnete Menge 

 ohne erstes und letztes Element, die eine abzählbare 

 überall dichte Teilmenge enthält, den Ordnungstypus 

 der Menge der Größe nach geordneten reellen Zahlen 

 besitzt. 



Ich nenne w-dimensionellen Bereich jeden zusammen- 

 hängenden, w- fachen Ordnungstypus, für dessen sämtliche Ele- 

 mente es eigentliche vollständige Umgebungen gibt, die absolut 

 zusammenhängende Teilmengen sind. Es besteht der Satz, daß 

 ein m-dimensioneller und ein i^-dimensioneller Bereich, 

 wenn m und ;* verschiedene Zahlen sind, nicht von dem- 

 selben Verdichtungstypus sein können.** 



Gibt es nun für ein mathematisches Kontinuum eine r^-fach 

 geordnete Menge, so daß die beiden Mengen ähnlich verdichtet 

 sind, daß also ihr Verdichtungstypus derselbe ist, so sage ich, 

 das mathematische Kontinuum könne «'i-fach stetig ge- 

 ordnet, oder kurzwegs, es könne ^^-fach geordnet werden. Ich 

 sage, das mathematische Kontinuum sei stetig «-fach ge- 

 ordnet, wenn es derart n-fach geordnet ist, daß die durch die 

 Anordnung bewirkte Verdichtung mit der Verdichtung des ma- 

 thematischen Kontinuums übereinstimmt. Ich sage dann auch 

 kurz, das mathematische Kontinuum sei >*-fach geordnet. 



Gibt es für das Element A eines mathematischen Kontinuums 

 eine Umgebung, die als selbständiges Kontinuum aufgefaßt w-fach. 

 geordnet werden kann, so sage ich, das mathematische Kon- 

 tinuum könne in der Umgebung des Elementes A »«-fach 

 geordnet werden. Aus dem Umstände, daß ein mathematisches 

 Kontinuum in der Umgebung eines jeden Elementes «-fach ge- 

 ordnet werden kann, folgt nicht, daß das mathematische Konti- 

 nuum im ganzen eine «-fache Anordnung zuläßt. Beispiel: Der 

 Kreisumfang, als Punktmenge. 



* G. Cantor, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlelire, 

 Math. Ann. Bd. 46. 



** Der Satz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Netto, nach 

 welchem die gerade Strecke nicht das umkehrbar eindeutige und stetige 

 Bild des Quadrates sein kann. 



