346 FRIEDRICH RIESZ. 



Die Anordnung des Raumes. 



Ich habe den Raum zuerst als eine abzählbare Reihe gewisser 

 physikalischer Kontinua definiert, deren Elemente in gewissen 

 Beziehungen zueinander standen; ich habe hieraus ein mathema- 

 tisches Kontinuum abgeleitet, mittels dessen sich jene physika- 

 lischen Kontinua und auch jene Beziehungen beschreiben lassen. 

 Dieses mathematische Kontinuum habe ich ebenfalls Raum genannt. 

 Aus den Grundsätzen, die ich für jene Reihe physikalischer Kon- 

 tinua aufgestellt hatte, schloß ich auf gewisse Eigenschaften des 

 Raumes als mathematischen Kontinuums. Doch kommen diese 

 Eigenschaften noch einer großen Klasse von Verdichtungstypen 

 zu; jedenfalls besitzt eine beliebige, absolut zusammenhängende 

 Teilmenge des Zahlenraumes von beliebiger Anzahl von Dimen- 

 sionen alle jene Eigenschaften; und es kann auch für jede solche 

 Menge eine abzahlbare Reihe physikalischer Kontinua angegeben 

 werden, welche unseren Grundsätzen genügt, so daß das abge- 

 leitete mathematische Kontinuum mit jener Menge ähnlich ver- 

 dichtet sei. Durch unsere Grundsätze ist somit der Verdichtungs- 

 typus des Raumes noch sicher nicht eindeutig festgelegt. Wollen 

 wir daher diesen Verdichtungstypus näher charakterisieren, so 

 müssen über jene Reihe physikalischer Kontinua weitere Voraus- 

 setzungen gemacht werden. 



Nach Analogie der HiLBERTschen Definition der Ebene wird 

 bei einer Grundlegung der exakten Geometrie, die aus dem Be- 

 griffe der Stetigkeit, nach unserer Ausdrucksweise aus dem Be- 

 griffe des mathematischen Kontinuums ausgeht, der Raum als ein 

 mathematisches Kontinuum definiert, dessen Elemente Punkte 

 heißen, und das den Verdichtungstypus eines Gebietes des drei- 

 dimensionalen projektiven Zahlenraumes besitzt; er erscheint als 

 ein zusammenhängendes mathematisches Kontinuum, das in der 

 Umgebung eines jeden seiner Elemente dreifach geordnet werden 

 kann, und zwar so, daß das Element eine vollständige Umgebung 

 besitzt, die von demselben Ordnungstypus ist, wie der dreidimen- 

 sionale gewöhnliche Zahlenraum. Schließt man die elliptische 

 Geometrie von vornherein aus, so kann der Raum im ganzen als 

 dreifach geordnete Menge aufgefaßt werden. Es fragt sich nun, 



