DIE GENESIS DES RAUMBEGRIFFS. 347 



welche weitere Voraussetzungen über jene Reihe physikalischer 

 Kontinua gemacht werden müssen, damit der Raum als mathe- 

 matisches Kontinuam erscheine, das in der Umgebuiig jedes 

 Punktes, resp. im ganzen dreifach geordnet werden kann und da- 

 hei jene weiteren Eigenschaften aufweist, die jenem System, das 

 zur Grundlegung der exakten Geometrie dient, eigen sind. Es 

 liegt nahe, jene Voraussetzungen mittels der Auffassung unserer 

 physikalischen Kontinua als geordnete Mengen zu suchen. 



Ich kehre nämlich die Frage um und frage zunächst: ge- 

 setzt, der Raum als mathematisches Kontinuum lasse sich w-fach 

 anordnen, was folgt hieraus für die physikalischen Kontinua der 

 Reihe, die den Raum definiert? Eine gewisse w- fache Anordnung 

 des Raumes bestimmt für jedes jener physikalischen Kontinua 

 eine w- fache Anordnung, indem ich festsetze, der physikalische 

 Punkt a gehe dem physikalischen Punkte & desselben physikali- 

 schen Kontinuums in bezug auf die «te Rangordnung dann und 

 nur dann voran, wenn jeder mathematische Punkt, der in a ent- 

 halten ist, jedem mathematischen Punkte, der in & enthalten ist, 

 in bezug auf die e'te Rangordnung vorangeht; es folgt dann aus 

 den Grundsätzen für geordnete mathematische Kontinua, daß da- 

 durch eine w-fache Anordnung eines jeden der physikalischen 

 Kontinua eindeutig festgelegt ist, die den Grundsätzen 1) — 3) für 

 geordnete physikalische Kontinua genügt; daß auch der Grund- 

 satz 4) befriedigt wird, folgt aus dem Satze, daß es für jedes 

 Paar ununterscheidbarer physikalischer Punkte wenigstens einen 

 mathematischen Punkt gibt, der in beiden Punkten enthalten ist. 

 Zieht man nun die Voraussetzungen für jene Reihe physikalischer 

 Kontinua heran, so folgt: 



Die Voraussetzung, daß der Raum als mathematisches 

 Kontinuum w-fach geordnet werden kann, ist jener Voraus- 

 setzung äquivalent, daß es für jedes physikalische Kontinuum 

 der definierenden Reihe eine bestimmte w- fache Anordnung 

 gibt, und daß die Reihe der auf diese Art bestimmten w-fach 

 geordneten physikalischen Kontinua folgenden Bedingungen 

 genügt: 



1. Besteht für die physikalischen Punkte m ter Ordnung a^ 

 und &^ die Beziehung a^ <j &^, so besteht auch für die Punkte 



