DIE GENESIS DES KAÜMBEGRIFFS. 349 



Gesichtspunkte gehe ich wieder nicht ein-, ich nehme sie als be- 

 friedigt an. Dann ist endlich gesichert, daß der Ver dich tun gs- 

 typus des Raumes jener eines gewissen dreidimensionalen 

 Bereiches ist. 



Die Voraussetzungen, die über unsere Raumvorstellungen 

 bisher gemacht worden sind, genügen nun, um diesen Bereich 

 noch näher zu charakterisieren. Man betrachte nämlich die Pro- 

 jektionen dieses Bereiches. Jede Projektion ist ein einfacher zu- 

 sammenhängender Ordnungstypus; die entsprechenden Projektionen 

 der ausgezeichneten Umgebungen bilden ein System von spe- 

 ziellen Umgebungen, das ausreichend ist; für jedes Element gibt 

 es Umgebungen im engeren Sinne; und endlich ist das aus- 

 reichende System spezieller Umgebungen abzählbar. Die Grenz- 

 punkte dieser Umgebungen bilden eine abzählbare Menge, die in 

 der Projektionsmenge überall dicht verteilt ist; nach dem zitierten 

 Cantor sehen Satze besitzt somit jede Projektion den Ordnungs- 

 typus der der Größe nach geordneten Menge aller reellen Zahlen. 

 Der zu unserem Bereiche gehörige vollständige Ordnungstypus 

 ist somit jener des dreidimensionalen Zahlenraumes. Daraus 

 folgt endlich, daß der Verdichtungstypus unseres Raumes 

 jener eines dreidimensionalen Zahlenkontinuums ist. 



Werden die Forderungen, die wir an unsere Reihe physi- 

 kalischer Kontinua betreffs der Auffassung jener Kontinua als 

 geordnete Mengen gestellt haben, reduziert, indem die Möglich- 

 keit der dreifachen Anordnung nicht von den physikalischen 

 Kontinua im ganzen, sondern nur von gewissen Teilmengen ge- 

 fordert wird, womit sich dann auch die weiteren Voraussetzungen 

 entsprechend gestalten, so gelangt man dazu, den Raum als ein 

 zusammenhängendes, mathematisches Kontinuum zu charakteri- 

 sieren, dessen jedes Element eine Umgebung besitzt, die 

 als selbständiges Kontinuum von demselben Verdich- 

 tungstypus ist wie der dreidimensionale Zahlenraum. 

 Damit ist man an der allgemeineren Hilbeet sehen Konzeption 

 des stetigen Raumes angelangt. 



