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Die Grundlegung der Geometrie. 



Die Voraussetzungen, die wir bezüglich der Perzeption un- 

 serer räumlichen Voraussetzungen und bezüglich ihrer Beziehungen 

 zueinander aufstellten, führten uns dazu, den Raum als ein ma- 

 thematisches Kontinuum zu definieren, mittels dessen sich unsere 

 räumlichen Vorstellungen beschreiben lassen. Der Verdichtungs- 

 typus des definierten mathematischen Kontinuums wurde zwar 

 auf Grund unserer Voraussetzungen iu gewissem Maße umgrenzt; 

 er ist aber noch keineswegs eindeutig festgelegt. Unseren Vor- 

 aussetzungen entspricht noch jedenfalls der Verdichtungstypus 

 eines jeden zusammenhängenden, nur aus inneren Punkten be- 

 stehenden Bereiches des dreidimensionalen gewöhnlichen, resp. 

 projektiven Zahlenraumes. Es ist bekannt, daß diese Bereiche 

 nicht alle homöomorph sind; die Mächtigkeit der möglichen Ver- 

 dichtungstypen ist vielmehr 2 '^ Die bisher gegebenen Eigen- 

 schaften des Raumes bilden somit sicher kein vollständiges System 

 von Voraussetzungen und definieren keine bestimmte Geometrie. 

 Zur Grundlegung der Geometrie sind somit noch weitere Voraus- 

 setzungen notwendig. 



Die Auswahl eines bestimmten Verdichtungstypus definiert 

 schon ein fertiges geometrisches System, eine „Analysis Situs". 

 In dieser Geometrie spielen noch alle Punktmengen, die einander 

 homöomorph sind, d. h. denselben Verdichtungstypus besitzen, 

 dieselbe Rolle. In jedem andern geometrischen Systeme werden 

 schon gewisse Punktmengen vor andern ähnlich verdichteten aus- 

 gezeichnet. Zur Grundlegung dieser geometrischen Sy- 

 steme genügt keineswegs die Festlegung des Verdich- 

 tungstypus. Man bedarf vielmehr neuer Begriffe, die es möglich 

 machen, gewisse Punktmengen vor anderen auszuzeichnen. 



LiE und HiLBERT verwenden für die weitere Grundlegung 

 den Begriff der Bewegung. Die Bewegungen sind eindeutig 

 umkehrbare stetige Transformationen des Raumes, d. h. solche 

 eindeutig umkehrbare Abbildungen des Raumes auf sich selbst, 

 für welche die einander entsprechenden Punktmengen ähnlich 

 verdichtet sind. Auf Grund eines leicht zu definierenden Ver- 

 dichtungsprinzips, das auf dem Verdichtungstypus des Raumes be- 



