DIE GENESIS DES EAUMBEGRIFFS. 351 



ruht, läßt sich die Mannigfaltigkeit der Bewegungen als mathe- 

 matisches Kontinuum auffassen; eine auszeichnende Eigenschaft 

 dieses Kontinuums besteht darin, daß es auch nach Ausschließen 

 der identischen Transformation zusammenhängend bleibt. Indem 

 dann die Gruppeneigenschaften dieses Kontinuums durch passende 

 Systeme von Axiomen festgelegt werden, gelangt man zur para- 

 bolischen, zur hyperbolischen oder endlich zur elliptischen Greo- 

 metrie. 



Wie entsteht nun der Begriff der Bewegung? Jedenfalls aus 

 entsprechenden Vorstellungen, die man als Bewegungs Vorstellungen 

 bezeichnen kann* Die Bewegungs Vorstellungen sind wieder physi- 

 kalische Kontinua-, die abzählbare Reibe der momentanen Be- 

 weg'ungsvorstellungen definiert das mathematische Kontinuum der 

 Bewegungen auf ähnliche Weise, wie die Reihe der momentanen 

 Raumvorstellungen den Raum. Aus passenden Voraussetzungen,, 

 die das Verhältnis der momentanen Raum- und Bewegungsvor- 

 stellungen regeln, folgt dann, daß das Kontinuum der Bewegungen 

 und das oben erwähnte Kontinuum gewisser Raum trän sformationen 

 ähnlich verdichtet sind, daß also dieselben einander eindeutig 

 umkehrbar stetig zugeordnet werden können. Es ist dann Sache 

 der Gewohnheit, daß wir die Bewegungen mit den zugeordneten 

 Transformationen identifizieren und die Transformationen selbst 

 als Bewegungen bezeichnen. 



Die weiteren Eigenschaften des Kontinuums der Bewegungen^ 

 die als Axiome dienen, werden ebenfalls aus Voraussetzungen ab- 

 geleitet, die das Verhältnis der Raumvorstellungen zu den Be- 

 wegungsvorstellungen regeln; solche Eigenschaften sind: Ab- 

 geschlossenheit des Kontinuums in gewissem Sinne, Gruppen- 

 charakter desselben, Transitivität gewisser Unter gi-uppen, eventuell 

 die Existenz invarianter Untergruppen. Auf die nähere Aus- 

 führung der Einzelheiten gehe ich nicht ein. 



RiEMANN** und Hamel*** verwenden für die Grundlegung 



* Bezüglicli der psychologischen Analyse der Bewegungs Vorstellungen 

 s. PoiNCÄKE, La valeur de la science, p. 99. 



** B. RiEMANN, Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde 

 liegen. Ges. Werke 1876, p. 254. 



*** G. Hamel, Dissertation, Göttingen 1901. 



