356 ALFEED LOEWY. 



Gruppe von w-ter Dimension so transformieren, daß sie in eine 

 r-dimensionale und eine {n — r)-dimensionale Gruppe zerlegbar 

 wird/' Man beweist leicht, daß jede (auch unendliche) Gruppe @ 

 linearer homogener Substitutionen von nicht verschwindenden 

 Determinanten, die eine HERMiTEsche Form von verschwindender 

 Determinante in sich transformiert, in dem Sinne reduzibel ist, 

 daß sie in die Form 



transformierbar ist (vgl. etwa Math. Ann., Bd. 53, S. 232). Im 

 § 1 meines Aufsatzes im Bande 6 der Transadions of tlie American 

 Math. Society (Oktoberheft 1905) habe ich gezeigt, daß jede Gruppe 

 linearer homogener Substitutionen, die eine definite HERMiTESche 

 Form in sich transformiert, vollständig reduzibel ist, und falls sie 

 nicht irreduzibel ist, auch eine semidefinite ÜERMiTEsche Form 

 in sich transformiert. Mithin kann man den Satz formulieren: 

 Die notwendige und hinreichende Bedingung der 

 Reduzibilität einer Gruppe linearer homogener Substitu- 

 tionen, die eine definite HERMiTEsche Form in sich trans- 

 formiert, ist, daß auch eine HERMiTEsche Form: 



n n 



von verschwindender Determinante existiere, die bei 

 allen Substitutionen der Gruppe invariant bleibt. Dann 

 gibt es auch stets eine invariante semidefinite HERMiTE- 

 sche Form; ist eine solche vom Range r (r<Cn), so läßt 

 sich die betreffende Gruppe in n Variablen so transfor- 

 mieren, daß sie in eine von r und eine von n — r Variablen 

 zerlegbar wird. Nach einem von Herrn MoOEE und mir in 

 der gleichen Woche veröffentlichten Satze gehört zu jeder end- 

 lichen Gruppe linearer homogener Substitutionen eine invariante 

 definite HERMiTEsche Form. In dem eben ausgesprochenen Satze 

 ist daher das von Herrn Visnya ausgesprochene Kriterium der 

 Reduzibilität einer endlichen Gruppe linearer homogener Substi- 

 tutionen als Spezialfall enthalten. 



