ZUK THEORIE DEE ADJÜNGIRTEN BILINEAEEN FORMEN. 121 



es ist jedoch 

 so, dass 

 d.h., 



ist. 



3. Satz. Ist die Reihe der Substitutionen 



L^, dqi, ■ . . , L<i, ' . . , Uk: • • ■ ' ^ 



eine Gi'uppe, so liefert die aus den m-ten adjungirten Substitutio- 

 nen dieser Substitutionen gebildete Reihe 



^('«■'(Ci), A^'^'HQ, . . . , A('")(Q, A('«)(Ca:), . . . A(™)(G^) 



gleichfalls eine Gruppe. 



Zum Beweise dieses Satzes genügt es zu erweisen, dass die 

 Eeihe A('"^((r) zugleich mit den Substitutionen A^'"'(C,) und 

 A('"'Cfc) auch die Substitution A('«)(C;-)A<™'(C7,) enthält. Das ist aber 

 an sich klar, da im Sinne des 1. Satzes 



und CiC]:, da die Eeihe G- eine Gruppe ist, in G, also A<'"^'(CiC/f) 

 in der Eeihe A'^'^\G) enthalten ist. 



Hieraus folgt zugleich, dass jeder Untergruppe von G in 

 ^1<™'(G) wieder eine Untergrupj)e entspricht. 



4. Satz. Jeder invarianten Untergruppe einer Gruppe ent- 

 spricht in ihrer m-ten adjungirten CWuppe wieder eine invariante 

 Untergruppe. 



Es sei 



i 1 , i 2 ) • • • ) i i ) • • • ? / ?■ j, 5 • • • 



die interVariante Untergruppe von G, d. h. eine solche Unter- 

 gruppe derselben, die durch eine beliebige Substitution von G 

 transformirt, unverändert bleibt. Also 



Ltg i i Gs = / ig • 



(.i,s = l, 2,3, . ..) 



