126 GUSTAV EADOS. 



men A^^\C) und A'^^^\F) zur Folge. Dadurch ist die Nothwendig- 

 keit der eben erwähnten Bedingung erwiesen. 



Dass diese Bedingung zugleich hinreicht, folgt daraus, 

 dass, wenn die Aequivalenzen unter (5) gelten, so stimmt der 

 aus dem Subdeterminanten (aus den Grössen d'^^) m-ten Grades 

 des Ccefficientensystems von C gebildete grösste gemeinschaftliche 

 Theiler mit dem aus dem Subdeterminanten (aus e'^^) m-ten 

 Grades der Determinante von E gebildeten grössten gemeinsamen 

 Theiler überein, dann sind aber auch die sämmtlichen Ele- 

 mentartheiler von E und C übereinstimmend und so ist denn 

 im Sinne des citirten Weierstrass' sehen Satzes C mit E sequi- 

 valent. 



3. Satz. Transformirt die Substitution P die quadratische 

 Form 



in die Quadratsumme 



C= I I ei], Xi Xk 



i=h i=l 



E=Ie,.x\ 



50 wird die Form ^^'"'(C) durch die Substitution A^^\P) in eine 

 Quadratsumme umgewai idelt. 



Wendet man nämlich auf die quadratische Form A<'"*(C) 

 die Substitution A""^(P) an, so erhalten wir im Sinne des 1. Satzes 

 die Form A^'^%E) ; da jedoch jede adjungirte Form einer Quadrat- 

 summe wieder eine Quadratsumme ist, so wird auch A^^^jE") eine 

 solche und so transformirt die Substitution A^^'^\P) die Form 

 A^'^\C) wirklich zur Quadratsumme. 



4. Satz. Sämmtliche adjwtgirte Substitutionen einer ortho- 

 gonalen Substitution sind, wieder orthogonal.'*^ 



Ist nämlich die Substitution P orthogonal, so transformirt 

 sie die Form 



C=Ix% 



* Siehe G. Eados : «Über die Theorie der orthogonalen Substitutio- 

 nen». Math, und Naturwiss. Bericlite. 10. Band, pag. 95. 



