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JOSEF KUESCHAE. 



Coordiuaten eines beliebigen Punktes P dieser Fläche bedeuten ; 

 C aber sei jene Curve der Curvenschaar, welche in der Fläche S 

 liegt und durch den Punkt P geht. In diesem Punkte wird S nicht 

 nur jenen Gleichungen genügen, in welche die Gleichungen (3) 

 übergehen, wenn man darin den Parametern die der Cui-ve C ent- 

 sprechenden Werthe verleiht, sondern auch jenen Gleichungen, die 

 man aus (3) nach den Formeln (1) und (2) bilden kann. 



Eliminiren wir noch aus diesen n+S Gleichungen die Para- 

 meter, so gewinnen wir eine Differentialgleichung, die für jede 

 Fläche S der Curvenschaar in jedem ihrer Punkte giltig ist. 



Die Elimination können wir so ausführen, dass wir die Glei- 

 chungen (1) und (3) nach den Parametern auflösen und die ge- 

 wonnenen Ausdrücke 



X^ = a^, X^^a.,, . . . Xn^cin, Z=c (4) 



in (2) einsetzen. 



Wir erhalten dann die Differentialgleichungen in der Form: 



n n 



1, liMi,jp^y+N=0, (5) 



/Z = l j = l 



WO die Coefficienten M]ij=Mjh und N blos Functionen von z, den 

 X und den ersten Differentialquotienten sind. 



Diese Weise der Elimination kann niemals dadurch unmög- 

 lich werden, dass die Gleichungen (1) und (3) nach den Parametern 

 unlösbar sind. 



Die Gleichungen (3) sind nämlich nach n Parametern immer 

 lösbar, da sie sonst nicht von einander unabhängig sein könnten, 

 oder aus ihnen eine blos z und x enthaltende Gleichung folgen 

 würde ; beide Fälle sind aber ausgeschlossen. Wenn wir nun die 

 Gleichungen (3) nach n Parametern — sagen wir nach den a — 

 auflösen und die gewonnenen Ausdrücke in (1) einsetzen, so können 

 wü' aus dieser Gleichung c als Function von z, den x und den 

 ersten Differentialquotienten darstellen ; ferner können wir mit 

 Hilfe der für c gewonnenen Formel auch die a in den genannten 

 Grössen ausdrücken, Dass nach der Substitution der a in (1) auch 

 c herausfalle ist wieder unmöglich, wie aus den folgenden Erwä- 

 gungen hervorgeht. 



