PAETIELLE DIFFERENTIAL-GLEICHUNGEN ZWEITEE OEDNUNG. 295 



auch der gegebenen Differentialgleichung zweiter Ordnung ge- 

 nügen. 



Soll « = a ein intermediäres Integral sein, so muss u gewissen 

 partiellen Differentialgleichungen genügen. Bei der Entwickelung 

 derselben, worauf wir nun übergehen, kann M^^ als von Null ver- 

 schieden betrachtet werden, ohne dass dadurch die Allgemeinheit 

 unserer Betrachtungen beschränkt würde. 



Wenn nämlich in der gegebenen Differentialgleichung p^j 

 nicht vorkommt, wohl aber z. B, p^»» so genügt es die Bezeichnung 

 der Veränderlichen x^ und ou^ zu vertauschen, um die Gleichung 

 auf die gewünschte Form zu bringen. Wenn aber keine der Grössen 

 Pn, P22' • • • ' Pnn in der gegebenen Gleichung vorkommt, jedoch 

 z. B. j9j2 darin vorhanden ist, so kann man durch Einführung 

 neuer Veränderlichen die gewünschte Form erzielen. 



Es seien die neuen unabhängigen Veränderlichen : 



OC^ = X^ -j- X-(^ , .Xg ^= X^ , . . . , Xyi ^^^ ^n ' 



und die nach ihnen gebildeten Differentialquotienten 



dz dH 

 dx^ dx\ 



mögen mit p\, p[i , . . . , bezeichnet werden. Dann ist : 



Pl ^i^i, pg =p\ +j32, P?, =P3, • . . , Pn=p'n 



Pxi=P'n, Pi^=p'n+p\^, Pn=Pn + '^Pi2-\-p'22, 



und die übrigen Differentialquotienten zweiter Ordnung sind von 

 pii unabhängig. Folglich wird der Coefficient von p'n in der trans- 

 formirten Gleichung M^^ sein, und die neue Gleichung hat somit 

 bereits die gewünschte Form. 



8. Kommt in der Gleichung (10) pn wirklich vor, so enthält 

 jedes intermediäre Integral erster Ordnung u=a den Differential- 

 quotienten p^.'^ 



* Dieser Satz verliert seine Giltigkeit wenn man mit Lie den 

 Begriff des intermediären Integrals in geeigneter Weise auch auf solche 

 u=u ausdehnt, die überhaupt kein p enthalten. Dieser Verallgemeinerung 

 bedürfen wir jedoch nicht, da uns nur das interessirt, wann ein solches 



