296 JOSEF KÜESCHÄK. 



Aus der Gleichung u=^a ergiebt sich nämhch durch Differen- 

 tation nach den unabhängigen Veränderlichen : 



du ^ du ^ du ^ , du ^ .... 



^ +P^ -^ +P>.^ ^ + ■ ■ • +P,.n äp,, =0. (11) 



{h=i, % . . . , n) 



du du 



Wenn nun — — = ist, aber z. B. — — nicht verschwindet, so 

 dp^ d]X2 



können wir die Gleichung u^a und jene unter (11) nach jj^j Pn^ 

 p^ , . . . , p%n auflösen. Wenn wir dann die erhaltenen Ausdrücke 

 unter (10) einsetzen, so erhalten wir eine Differentialgleichung 

 = 0, die x^ nur mehr als Parameter enthält, da in ihr kein nach 

 X(^ gebildeter Differentialquotient vorkommt. 



Wird nun statt x,2 ein bestimmter Werth .Ts, eingesetzt, so 

 übergeht = bei dieser Substitution in eine Gleichung <I'=0, 

 und eine beliebige gemeinsame Lösung z von (10) und u^o. über- 

 geht in eine solche Function von X-^, x^, . . . , Xn, die der Gleichung 

 (p=0 genügt. Das ist aber unmöglich, wenn jede Lösung der u=^a 

 zugleich auch der gegebenen Differentialgleichung zweiter Ord- 

 nung genügt, da der Anfangswerth der Lösung von u=a an der 

 Stelle x:^^=x^ eine beliebige Function von x^ , x^, . . . , Xn sein kann. 



Mithin führt die Voraussetzung, dass i/ = a von p^ unabhängig 

 sei, stets auf einen Widerspruch. 



9. Damit nun eine Gleichung u=a, welche p^ wirklich ent- 

 hält, ein intermediäres Litegral erster Ordnung der Gleichung (10) 

 sei, dazu ist nothwendig und ausreichend, dass die Gleichung (10) 

 zu einer Identität wird, wenn man darin statt p^^ , p^^, . . . , p\n die 

 aus den Gleichungen (11) genommenen Ausdrücke dieser Grössen 

 einsetzt. 



Dass diese Bedingung ausreichend ist, braucht nicht erst be- 

 wiesen zu werden. Um uns auch von ihrer Nothwendigkeit zu über- 

 zeugen, setzen wir voraus, dass die Gleichung (10), wenn daraus 

 PiX' Pn' • • • ' Pi" mittels der Gleichungen (11) eliminirt werden, zu 

 keiner Identität führt. In diesem Falle wird die Gleichung, die wir 



intermediäres Integral von der Form ^ (Xj , . . . Xn, Z)=:0 existirt, in 

 dem die X und Z nicht alle von p frei sind. 



