PARTIELLE DIEFBRENTIAL- GLEICHUNGEN ZWEITER ORDNUNG. 



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B- 



und deren jede Subdeterminante dritten Grades verschwinden, 

 damit die Gleichungen unter (1^) mit einander algebraisch verein- 

 bar seien. 



In der That wissen wir bereits von der dem Elemente Mgg 

 adjungirten Subdeterminante ß^^, und jeder ihrer Subdeterminan- 

 ten dritten Grades, dass sie verschwinden. In der Determinante 



sind also alle die den Elementen der letzten Eeihe adjungirten 

 Subdeterminanten gleich Null, mithin auch ß]r,=0. Ebenso ist 



folglich verschwindet auch 



B=M,,ß,,+M,,ß^+M,,ß,,+M^ß,,+M^ß^. 



Nach dem Vorbilde der Determinante ß^^ verschwinden auch 

 ß^"!' ßas' ßu ^^^ deren Subdeterminanten dritten Grades. Also ver- 

 schwinden alle Hauptsubdeterminanten dritten Grades von B, 

 und dies ist nur so möglich, wenn alle Subdeterminanten dritten 

 Grades der Determinante-i? gleich Null sind. 



Überhaupt ist, sobald n>2 ist, zur algebraischen Vereinbar- 

 keit der Gleichungen (12) nothwendig, dass die aus den Coefficien- 

 ten Mkj gebildete Determinante höchstens vom zweiten Eange sei, 

 d. h. dass die mit den Coefficienten Mhj gebildete quadratische 

 Form in das Product zweier linearer Factoren zerlegt werden kann. 



12. Die gefundene nothwendige Bedingung ist auch aus- 

 reichend. Wenn nämlich 



