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3U4 JOSEF KÜRSCHÄK. 



du du ^^ I ^^ _ n 



oder 



, du du , du du _ 



-.^ Ida du\ ^,-rr , , r^Tir x/^^* , '^^^\ AT ''^ r, 



^" (äs; +J'' <?^)+a'*'"^"+2*'"'' las +*"' ^) -^9K =°- 



(Wenn Q ein vollständiges Quadrat ist, so ist S' mit S 

 identisch.) 



Ob es Functionen u giebt, die den Gleichungen S oder S" 

 genügen, und wie gross die Mannigfaltigkeit jener u ist, lässt sich 

 in jedem einzelnen Falle auf bekannte Weise feststellen. 



13. Besonderes Interesse verdient der Fall, in dem eines der 

 Systeme S oder S' , sagen wir das erstere, n von einander unab- 

 hängige Lösungen 



U-y , ttg , . . . , Uifi 



gestattet. 



Dann sind nämlich die Lösungen der gegeheneyi Differential- 

 gleichung zweiter Ordnung (abgesehen von gewissen besonderen 

 Lösungen) identüch mit dem Libegriffe der Lösungen der Diffe- 

 rentialgleichungen erster Ordnung von der Form, 



<p{Uy, U^, . . . , Un) = (17) 



WO w eine beliebige Function der u bedeutet. 



Dass jede Lösung von cp = auch der gegebenen Differential- 

 gleichung zweiter Ordnung genügt, ist an sich klar. Wir müssen 

 nur noch beweisen, dass wir auch umgekehrt zu jeder Lösung z 

 der gegebenen Differentialgleichung im Allgemeinen eine solche 

 Differentialgleichung erster Ordnung von der Form (p=0 finden 

 können, die z ebenfalls befriedigt. Eine beliebige Lösung der 

 Differentialgleichung zweiter Ordnung können wir in bekannter 

 Weise dadurch kennzeichnen, dass wir angeben, in welche Anfangs- 

 werthe z und p übergehen, falls wir statt o:^, einen gewissen Werth 

 1:., setzen. 



