PAETIELLE DIFFEEBNTIAL- GLEICHUNGEN ZWEITER ORDNUNG. 305 



Sind diese Anfangswerthe : 



Wxi= Ji ^'^ \^''%J SCc., . . . , Xn), 

 (Pl)a;i=i, ^^'"^ v^2' ^3' • • ' ' ^n), 



SO ist ferner 



(P2l,= i,= ^' • • • ' {Pn\,^^-^ = ^- 



Setzen wir in den u-^ statt x^ den Werth öc^ ein und statt z 

 und dessen Differentialquotienten ihre Anfangswerthe, so übergehen 

 dieselben in gewisse Functionen f^, f^,..., fn der Xc,,..., Xn- 

 Bezeichnen wir diese Anfangswerthe der u mit ii,, und elimiren 

 wir x^ , x^, . . ., Xn aus den Gleichungen : 



U^ = / j [X(^ , X-j , . . , , Xfi) 

 ^2^^/2 (^2? ^3? • • • ) ^-n) 



11^ = 1^ {^X^2 ' '^3 ? • • • j ^w) 



so erhalten wir zwischen den ü eine Eelation : 



<p{i\, üo, - ■ , ün)=0 (18) 



Wählen wir nun in (17) für <p gerade jene Function, die auf 

 der linken Seite von (18) steht, so besitzt die so gebildete Diffe- 

 rentialgleichung erster Ordnung augenscheinlich stets eine solche 

 Lösung z, für die 



ist. 



Ferner genügt diese Lösung, wie jede Lösung von ^ = 0, auch 

 der gegebenen Differentialgleichung zweiter Ordnung, d. h. sie 

 wird identisch mit der oben ausgewählten Lösung derselben. 



In der beschriebenen Weise gelingt es also im Allgemeinen 

 wirklich zu einer beliebig gewählten Lösung z der gegebenen Diffe- 

 rentialgleichung eine solche Differentialgleichung erster Ordnung 

 von der Form (17) zu finden, die z ebenfalls befriedigt. 



14. Hat jedes der Gleichungssysteme S und S' wenigstens je 

 eine Lösung u, resp. u', so stehen die linken Seiten der Gleichungen 



U--a, u' = ß 



Mathematische und Naturwüienschajtliche Berichte aus Ungarn. XIV. 20 



