PARTIELLE DIFFERENTIAL- GLEICHUNGEN ZWEITER ORDNUNG. 307 



Functionen von z, den % und den ersten Differentialquotien- 

 ten sind. 



Es ist dazu nothwendig und ausreichend, dass die quadra- 

 tische Form Q in das Product zweier linearer Factoren zerfalle 

 und S oder S' ein sogenanntes vollständiges System sei. Sind diese 

 Bedingungen erfüllt, so ist (p die allgemeine Lösung jenes voll- 

 ständigen Systems, sagen wir des Systems S. 



Diese Fassung des gesuchten Kriteriums kann aber nur als 

 eine vorläufige gelten, und wir müssen im Folgenden das Gesagte 

 genauer zerlegen. 



16. Hat 



n n 

 h=l j=l 



solche Coefficienten Mhj, dass die quadratische Form 



n n 



0=j 2 Mhj ehe 



h=l j=i 



in das Product von 



und 



zerfällt, wird ferner Mj^ zur Vereinfachung gleich 1 gesetzt, so 

 hat die gegebene Differentialgleichung die Form 



+ (fJt^fJ.3+l^^f^''^)p%3^ ]-{fJ-^f^'n+!^nfJ'^) Pin-] bf^nf-i'nPnn + N^ 0, 



und S lautet : 



n 



A^ {u)=u^^+p^u.— J !j!h{Uxj^+phih)—Nu^=0, 



A.(^ {U)^= a(^Tp^~\-Uj)^^=-\J, 

 As{u) = n3Up^ + Up^=0, 



S{ 



An {u)^fjLnUp^ +Up„ = 0, 



TD du 



wo Z. B. Uz = ^: ist. 



dz 



20* 



