PARTIELLE DIFFERENTIAL- GLEICHUNGEN ZWEITER ORDNUNG. 311 



oder mit Eücksicht auf (24) 



5p/j '^ dpi \dph ' dpi dpj 



Wenn wir dies in Betracht ziehen, und dann durch M dividiren, 

 so übergeht das Gleichungssystem (2:2) schliesslich in das Fol- 

 gende : 



dfih . djxh dfih j dfxn 



_|i_/„.|^=0, (26) 



dph ^ dpi 



Oi=i, 3, . . . m) 



das sich mit den Gleichungen (19) und (20) äquivalent erwei- 

 sen wird. 



In der That ist in der Gleichung, die einem gewissen h ent- 

 spricht, der von den zweiten Differentialquotienten freie Theil : 



-A,{fjin)-An{N), 

 der Coefficient von p-^j 



^An{u.j)-Aj{fjin), 



schliesslich der Coefficient von pj^ : 



ixj {Au{uh)-^An {!JLh))+ßk {Aj (/^;0-2A,, {i,.-)). 



Diese Ausdrücke verschwinden aber dann und nur dann bei allen 

 Werthen von h, j und k, wenn die u und N den Gleichungen (19) 

 und (20) genügen. 



Damit ist bereits für die Existenz von M die Nothwendigkeit 

 der Bedingungen (19) und (20) bewiesen. 



Diese Bedingungen sind aber auch ausreichend. Das heisst 

 sobald die genannten Gleichungen erfüllt sind, werden nicht nur 

 die Gleichungen (26) zu Identitäten, sondern auch die unter (23), 

 (24) und (25) angeführten können befriedigt werden. 



Was vor Allem die Gleichungen (25) betrifft, so ist ihre aus- 

 führliche Form : 



