PAKTIELLE DIFFERENTIAL- GLEICHUNGEN ZWEITER ORDNUNG. 



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auftreten, für welche die quadratische Form 



n n g^\/ 

 h=i j=i dph dpj 



ein vollständiges Quadrat ist.-^ 



Somit lässt sich zu jeder der von uns im Abschnitt I be- 

 trachteten Gleichungen ein Variationsproblem finden, welches 

 eben zu jener Gleichung führt. 



IV. 



19. Die in den vorigen zwei Abschnitten entwickelten Sätze 

 gestatten nicht nur die Eesultate des Abschnittes I mit der soeben 

 gemachten Bemerkung zu ergänzen, sondern bieten auch die 

 Grundlage zur Umkehrung der in den Artikeln 5 und 6 entwickel- 

 ten Sätze. 



Hat nämlich die Differentialgleichung 



J 2MhjPhj+N=0 



ein intermediäres Integral erster Ordnung von der Form 



<p{X^, X^, . . . , Xn, Z) — 

 so befriedigt jede der Grössen 



* Dass bei der Variation des doppelten Integrales 



1 I F (a?, y, z, p, q) dxcly 



die auftretende Differentialgleichung stets ein intermediäres Integral 

 erster Ordnung von der Form (p{u^, u^, "3)=0 besitzt, sobald 



dp^ drf ■ dpdq ' 



habe ich schon in meiner in der Einleitung erwähnten Abhandlung be- 

 wiesen. 



Meine jetzigen Eesultate enthalten nicht nur die Verallgemeinerung, 

 sondern auch die ümkehrung dieses Satzes. 



