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JOSEF KUESCHAK. 



das System S, somit auch das in diesem Falle mit .S' identische 

 System S'. Es stehen also nach Artikel 14 zwei beliebige dieser 

 Ausdrücke in Involution. Mit anderen Worten : das Gleichungs- 

 system 



-Aj^^=ö!.j, ^\q^=£Iö), . . . , J\.,fi^^ Clfi , Zj^^^C \-^ ' ) 



bestimmt bei jeder Wahl der Constanten a und c einen Element- 

 verein des Eaumes von n-{-l Dimensionen. 



Bei der Bestimmung des Punktortes dieses Vereins ziehen 

 wir in Betracht, dass unser System S n — 1 solche Gleichungen 

 enthält, die bloss nach den p gebildete Differentialquotienten ent- 

 halten. Bedeutet nun w eine gemeinsame Lösung dieser n —1 

 Gleichungen, so enthält jede Lösung von S die Grössen p^, p^, 

 . . ., Pn nur in der Verbindung co. Wenden wir diese Bemerkung 

 auf die Lösungen X^, X<^, . . ., Xn, Zdes Systems S an, so ergiebt 

 sich, dass sich im Gleichungssysteme (27) die p mittels einer Glei- 

 chung aus den übrigen eliminiren lassen. Die Punkte des Element- 

 vereins, den die Gleichungen (27) bestimmen, genügen also n 

 Gleichungen, folglich ist ihre Gesammtheit eine Curve. 



Benützt man zur Elimination der p z. B. die Gleichung 

 Z^^c, so erhält man die Gleichungen der betrachteten Curve in 

 der Form : 



Nehmen hier die a und c alle möglichen Werthe an, so er- 

 halten wir eine Curvenschaar von cx)^+i Curven. 



Die Flächen dieser Curvenschaar genügen alle der gegebenen 

 Differentialgleichung zweiter Ordnung. 



Es sei nämlich S eine Fläche der Curvenschaar. Sie möge 

 aus jenen Curven der Schaar bestehen, für die 



^(%, ttg, . . . , a«, c)=0, <p=0. (29) 



ist. Dann können wir zu jedem Elemente 



OC-^, X(^, . . . Xfii Z, P\iP%i • • • 1 pn 



von S solche Werthe der a und c finden, die den Gleichungen (27) 

 und (29) genügen. Das h eis st S befriedigt die Differentialgleichungen 



