ZUR THEORIE DER IRREDUZIBLEIS^ GLEICHUNGEN. 31 



stehende Substitutionen enthält. Umgekehrt, ist die Gruppe so 

 beschaffen, dann gibt es nach H. Frobenius * unendlich viele 

 solche Primzahlen. 



2. Es sei 10 eine Wurzel der Gleichung (1), die den Körper 

 K(iü) bestimmt. Ferner bedeute I) die Diskriminante der Glei- 

 chung und d diejenige des Zahlkörpers, so daß die Relation 



1) = /^V? 

 besteht, wo Je eine rationale ganze Zahl ist. Wenn nun die 

 rationale Primzahl q ein Teiler von Je ist, dann hat 



f(x) (mod. q) 

 nach H. Dedekind** einen mehrfachen Teiler und ist folglich 

 reduzibel. 



3. Nehmen wir jetzt an, daß für die rationale Primzahl r 



fix) (mod. ;■) 

 irreduzibel bleibt. Diese Zahl r kann kein Teiler der Zahl T^ 

 sein, und somit ist r auch im Körper K{iü) irreduzibel, folglich 

 besitzt die GALOiSsche Gruppe auch aus einem einzigen Zykel 

 bestehende Substitutionen. 



4. Wenn umgekehrt die Gruppe diese Eigenschaft besitzt, 

 so sind unendlich viele rationale Primzahlen vorhanden, die im 

 Körper K(tv) irreduzibel sind. Ist t eine solche Primzahl, die 

 noch relativ prim gegen h ist, so bleibt 



f{x) (mod. t) 

 irreduzibel. W. z. b. w. 



II. 



1. Ist die Gleichung (1) eine GALOiSsche Gleichung im 

 Bereiche der rationalen Zahlen, sn gibt es nach I. dann und nur 

 dann einen Primzahlmodul, nach dem (1) irreduzibel bleibt, wenn 

 der durch (1) bestimmte Körper ein zyMiscIier ist. Jetzt wollen 

 wir auch auf eine andere Weise den Beweis dafür erbringen, daß 

 es unendlich viele Primzahlen gibt, die für einen gegebenen zykli- 

 schen Körper irreduzibel sind. 



* a. a. 0. p. 696, Satz IL 



** Über den Zusammenhang zw. der Theorie der Ideale etc. Abhand- 

 lungen der K. Ges. der Wiss. zu Göttingen, 1878, p. 19. 



