32 MICHAEL BAUER. 



2. Bezeichnen wir den zyklischen Körper mit C^. Nach 

 einem fundamentalen Satze von Kroneckee ist C^ ein Kreis- 

 körper. Es läßt sich folglich eine positive ganze Zahl N vor- 

 finden^ so daß der durch die Zahl 



2 / TT 



bestimmte Körper K^^ den Körper C„ als Unterkörper enthält. 

 Die Gruppe des ^j^ ist isomorph mit der Gruppe der Substi- 

 tutionen : 



(()•, ^"0,K^) = i. (3) 



Bezeichnen wir diese Gruppe mit ^, und der Körper C!,, 

 gehöre zur Untergruppe @. Nachdem die Gruppe -" eine zyklische 

 ist, besitzt die Gruppe ^ eine Substitution H, für die eine 



Zerleffunsr: 



^ ^ § = @i> + (53P,2 4....-|-@i^" (4) 



besteht, woraus evident ist, daß man die Konjugierten einer Zahl 

 oder eines Ideals des Körpers C„ inbezug auf diesen Körper 

 bildet, indem man sie den Potenzen der Substitution 



unterwirit. 



3. Wir werden nun zeigen, daß alle rationalen Primzahlen ^9, 

 die der Bedingung 



p = li (mod iV) (5) 



genügen, im Körper C^ irreduzibel sind. Fürs erste kann keine 

 der Zahlen ]}, die nach Dieichlet eine unendliche Menge bilden, 

 die Diskriminante des Körpers Kij (und folglich die Diskrimi- 

 nante des C^) teilen, sonst würde sie auch JV teilen. Würde 

 demnach j) im Körper C^ reduzibel sein, so wäre ein Primideal- 

 faktor p vorhanden, der nicht mit seinen sämtlichen Konjugierten 

 äquivalent wäre. Dies ist aber unmöglich. Es ist nämlich 



s 



WO die Faktoren ^^ verschiedene Primideale des Körpers Kj!j be- 

 deuten, die bekannterweise bei der Substitution 



(9 5 ?^) = (?; ?') 



invariant bleiben. Somit sind Zahlen ]} im Körper tatsächlich 

 irreduzibel. 



