ZUR THEORIE DER BINOMISCHEN KONGRUENZEN. 35 



ist nur in den folgenden Fällen als ein Produkt linearer Faktoren 



darstellbar: 



(Ä) , n = 2.^, « = 1 



(B) w = 2, a eine beliebige pos. ganze Zahl. 



In allen diesen Fällen (ausgenommen die Fälle n = 2, a ^ 3)^ 

 ist die Zerlegung eine eindeutige. Icli erwähne noch, daß die- 

 selbe Fragestellung für den spez. Fall, daß n eine Primzahl ist, 

 schon von H. Perott* mittels anderer Methoden behandelt 

 wurde. 



1. Wenn p eine ungerade Primzahl und 



j5 — 1 = (mod. a) 

 ist, dann läßt sich eine ganze Zahl Fi vorfinden, die nach den 

 Moduln : 



Ih lA • ■ ■, P'" (0 



zum Exponenten a gehört. Man kann eine solche Zahl auf die 

 folgende Weise bestimmen. Es sei p eine primitive Wurzel 

 (mod. p"), folglich nach allen Moduln (1); dann hat 



R = qp"-'' (1*) 



die gewünschte Eigenschaft, wenn nur: 



(p-1, &)=^ (1**) 



ist. Die Zahl q gehört nämlich nach den 



(mod. pl^), ß ^ci, zum Exp. p(^~'^{p> — 1); 

 folglich gehört Fi nach den (mod. p^^ , ß ^a) zum Exponenten: 



/-i(_p_l) ^ p-i _^. 

 (p^'^-i(_p_l),p«-i&) (P — 1, &) 



2. Wenn 



p — 1 = (mod. a) 

 so ist 



x"" — 1 (mod. p") (2) 



als ein Produkt linearer Faktoren darstellbar. Ist nämlich R 



* Remarque au sujet du theoreme crEuclide etc. American Journal 

 of Math. Bdd. XI, XIII. § 26 der Abhandlung. 



3* 



