36 MICHAEL BAUER. 



eine beliebige der Zahlen, die nach den Moduln (1) zum Ex- 

 ponenten a gehören, so wird 



x"- — 1 ^EE-. (x — E)f2(x) (mod. j)")- 



Es ist ferner 



B^ - R == (mod. p) 

 folglich 



f,(R') = 0, f,(x) = {x- R')fsix) (mod. r)- 



Auf diese Weise erhält man: 



a 



x" — 1= ]J{x — R'') (mod. p"). (3) 



k = l 



3. Der Ausdruck 



x^ — 1 (mod. p>), (a, p) = 1 



ist bekannter Weise dann und nur dann als ein Produkt linearer 

 Faktoren darstellbar, wenn 



p — 1 ^^0 (mod. d) 

 ist. Nachdem die Zerlegungen (mod. j)) ohne Ausnahme eindeutig 

 sind; folgt hieraus, daß der Ausdruck 



^P^'a _ l ^j^Q(J_ ^3^^ ^^^ P) = 1 (4) 



nur im Falle 



J9 — 1 = (mod. a) 



als ein Produkt linearer Faktoren darstellbar ist. Es ist nämlich: 



xP""^ _ 1 = (^« _ lY (mod. p). 



4. Ist 



p — 1 ^0 (mod. a), 



dann ist der Ausdruck 



xP""" — 1 (mod. p'^) (5) 



nicht als ein Produkt linearer Faktoren darstellbar. Ist nämlich 

 wieder R eine Zahl, die nach den Moduln (1) zum Exponenten a 

 gehört; so hat man: 



a 



x" ~l= riioc - R^) (mod. 2)"^) (6) 



^« - 1 = JJ{x - R^) (mod. p)) 



r^P a 



