ZUR THEORIE DER BINOMISCHEN KONGRUENZEN. 37 



Wäre (5) als ein Produkt linearer Faktoren darstellbar, so würde 

 diese Zerlegung die folgende Form haben: 



a:v-a _ 1 ^ nn{x - R' - h,,p) (mod. /), (7) 



JC=1 4=1 



weil doch die Zerlegung (7) auch [mod. p) bestünde, die Zer- 

 legungen (mod. p) aber eindeutig sind. Es ist jedoch: 



n{x-W-\,p)^{x-RY - Pix - RY^' 2\i (mod.i^O. 



i = l i 



Daraus würde folgen: 



xP""- - 1 = {x- - ly''- Ax--l-p^ 1^ \, } (mod. p'), 



^ k, i 



oder einfacher geschrieben: 



^^« _ 1 = {yf _ l)p^-i {^r-^ j^f^^^-xj^ yf^, (8) 



Die Relation (8) ist nun unmöglich. Es würde sich aus ihr 



/; = - 1; /"i = /s = • • • = fa-x = (mod. p"). 

 ergeben, d. h. 



xv''<^ _ 1 =: (^« _ 1)P^ (mod. p% 



eine Relation, deren Unrichtigkeit evident ist, da doch 

 xp-^a _ 1 = (^p""-^« _ 1)^ (mod. p2). 



5. Der Ausdruck 



^« _ 1 (mod. 2) 



ist nur im Falle a = 2'* als ein Produkt linearer Faktoren dar- 

 stellbar. Ist nämlich eine solche Zerlegung vorhanden, so muß 

 x" — \ = {x— lY (mod. 2) (9) 



sein. Es ist jetzt 



a = 2/^ä, (ä, 2) = 1; 

 dann wäre also 



ix?^'" -\) = {x- Xf = {x"^' - If (mod. 2), 



demnach hätte man: 



/ - 1 ^ (^ - If (mod. 2), (ä, 2)=1, 



was jedoch nur im Falle ä = 1 richtig ist. 



6. Ist j3 > 1, so ist 



x^' — 1 (mod. 4) 



