ZUR THEORIE DER HÖHEREN KONGRUENZEN. 41 



in einer gewissen Zerlegung von f(x) (mod. p") auftreten. Nun 



läßt sich beweisen, daß 



Jc = l 



ist, indem man die Unzulässigkeit von Z; > 1 zeigt. Es ist nämlich: 



Ä- 



r = l 



und aus der Annahme />; > 1 würde 



fioc)^f,{x)G^{x){mo^.p') (4) 



folgen, eine Relation, die unrichtig ist. Setzen wir nämlich: 



so wäre nach (4) 



pM(x) = (modd. p)% f^ (x)) 

 d.i. 



M(x) = (modd. p), /' (x)), (5) 



aber (5) kann nach H. Dedekind * nicht bestehen, falls wie hier 



{p, k) = 1 

 ist. 



4. Nun kann man die Eindeutigkeit der Zerlegungen be- 

 weisen. Ist nämlich: 



f{x) = JJfi (^)'' (mod. p) 

 1 = 1 

 und hätte man 



f{x) ^ IlF.M = 77^-. (x) (mod. i>«) , 

 (• = 1 i = 1 



so folgen nach dem Vorhergehenden: 



Vi = Vg = 5 , F.^ (x) = F, „ (x) (mod. p) . 



Aber sowohl die Ausdrücke F^^(x) als die Ausdrücke F,;^{x) 

 sind untereinander relativ prim (mod. ^), infolgedessen"^* 

 F,^{x)^F,,(x) (mod.p"). 

 Q. e. d. 



* über den Zusamraenliang zwischen d. Theorie d. Ideale etc. Abhand- 

 lungen der K. Ges. der Wiss. zu Göttingen, 1878, p. 17. 

 ** Von denjenigen Moduln etc. § 58. 



