42 MICHAEL BAUER. ZUR THEORIE DER HÖHEREN KONGRUENZEN. 



5. In dem speziellen Falle, wo das System 



(1, w, tv\ . . ., iv""-^) 



ein Fundamentalsystem des Körpers Kiiv) bildet , sind die Zer- 

 legungen ohne Ausnahme eindeutig. Dies tritt z. B. bei den pri- 

 mitiven Kreisteilungsgleicbungen ein. Wenn man daher diese 

 Gleichungen mit 



P^(x) = xv(") -i =0* 



bezeichnet, so kann man die Form der Zerlegungen nach Prim- 

 zahlpotenzen sofort hinschreiben.** 



Wenn man das ausführt, so ersieht man daraus, daß es auch 

 solche P^ (x) gibt, die nach jeder Primzahlpotenz reduzibel werden. 

 Dies tritt dann und nur dann ein, wenn 



n = p^m, {p, m) = 1 

 2) primitive Wurzel (mod. m) 



ist.*** Wir nahmen bei dieser Regel m = 1 für einen solchen 

 Modul, nach welchem jede Zahl eine primitive Wurzel ist. 



* qp bedeutet das EuLERSche Zeichen. 

 ** Man siehe z. B. Hilbekt: Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. 

 Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung. Bd. IV, p. 33.3. 



*** Das erste Beispiel einer solchen irreduziblen Gleichung hat H. Hilbert 

 gegeben. (Gott. Nachrichten 1897, p. 48.) Seine Gleichung ist überhaupt 

 nach jedem Modul reduzibel. Es sind auch unter den primitiven Ereis- 

 teilungsgleichungen solche vorhanden. Man bekommt solche, wenn man 

 z. B. n ^//Pi 1 « ^3 setzt, wo die Primzahlen p. voneinander verschieden 



und von der Form 2*^" -j- 1 sind. 



