ZUR THEORIE DER GEOMETRISCHEN KONSTRUKTIONEN. 47 



3. Beliebisre Punkte, die auf bekannten Geraden oder in der 



Ebene liegen, sollen verbunden werden. 



IL Der Sclinittpunkt bekannter Geraden soll bestimmt werden. 



Ist eine Aufgabe mittelst unserer Hilfsmittel lösbar, so bleibt 



sie auch dann lösbar, wenn wir die in der Konstruktion beliebig 



wählbaren Punkte in der folgenden Weise angenommen denken- 



Die beliebigen Punkte der Ebene sollen rationale Koordinaten 



haben. Liegt ein Punkt beliebig auf einer Gerade, so soll das 



Streckenverhältnis desselben zu den zwei Punkten, durch die jene 



Gerade bestimmt ist, eine rationale Zahl sein. Nun lehren die 



ersten Elemente der analytischen Geometrie für die Lösbarkeit 



der untersuchten Aufgabe als eine notwendige Bedingung, daß 



der durch die Koordinaten der Schnittpunkte des fixen Vielecks 



bestimmte Rationalitätsbereich 



sämtliche Zahlen ]/p enthält. Nach dem Satze des Paragraphen 3 

 wären also die sämtlichen Zahlen Yp in einem aus [1] entstam- 

 menden Gattung-sbereich F enthalten. Es ist aber 



p — VpVp, 



also besitzt die Zahl jj im Bereiche F mehrfache Idealfaktoren 

 und ist folglich ein Teiler der Diskriminante von F. Solche 

 Teiler sind aber nur in endlicher Anzahl vorhanden, somit ist 

 unsere Aufgabe mittelst Konstruktionen vom Typus (i?) nicht 

 lösbar. 



