PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DES VARIATIONSCALCULS. 



39 



dY 



y^ßf{S)+[{aX+ßY)f' {^)+g' m 



z=[{aX+ßY)f' {$)+g' m (^ H + r ^)~g {$) 



. (5) 



Nachdem dieser exceptionelle Fall erledigt ist, setzen wir 

 voraus, dass die Factoren ersten Grades von 



dY'' 



dXdY 



dX- 



einander nicht gleich sind. 



Führt man statt X und Y ganz beliebige Functionen dersel- 

 ben als unabhängige Variable ein, so ist 



p dZ d$ dZ dfj 



J^dX'^d^dX' 

 ^~ de dY^ d-rj dY' 



.de _^ de\ dZ ^idrj 



d^\dZ 



dX ' '^dYI d-r)\ 



X 

 X 



Das variirte Integi'al wird 



de_ 



■dX 



HV'dX'^^^dYlJe-^Y'dX'^^'dY)^. 



^IdXdY dXdY\.^-, 



^Kde-^-^W^^"^'"^- 



Dasselbe vereinfacht sich bedeutend, wenn <f und t] — wie es 

 nun geschehen soll — den Gleichungen 



dX 



^^+i"^=0, 



di_ 

 dY 



d^ 

 dX 



^ifv +/^i^=0 



dY 



(6) 



gemäss gewählt werden. 



Die ersten zwei Factoren reduciren sich auf 



^dX+^ 



dr^ 



dY 



de 



de\ dZdZ 



dX 



r+/^i97J 5. 9^' 



