PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DES VARIATIONSCALCÜLS. 



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die transformirte Gleichung aber 



d^^ ( dhv , div diü\ ^ 



~ I -i • ' • • • • {' ) 



Das ist nun in der Tat die in der Einleitung versprochene 

 Porm. Um sie dui'ch die eben angegebenen Transformationen zu 

 erhalten, braucht man keine anderen Integrationen, als die der 

 Gleichungen (6), durch die q und 7j als Functionen von X und F, 

 d. h. — in der ersten Bezeichnung — von p und q, bestimmt 

 werden. 



IL 



Erstes Integral (im engeren Sinne) einer partiellen Differen- 

 tialgleichung zweiter Ordnung ist jede Gleichung erster Ordnung 



u [x, y, z, p, q) = Const. 



deren sämmtliche Lösungen auch die gegebene Gleichung befrie- 

 digen. 



Damit die lineare Gleichung 



Ar+Bs+Ct+D=0, 



deren Coefficienten von x, y, z, p und q abhängig sind, nach der 

 Methode von Monge integrirbar sei, muss sie ein erstes Integral 

 von der Form 



jP (u, v) = Const. 



haben, unter F eine beliebige Function, unter u und v bestimmte 

 Functionen von x, y, z, p und q verstanden. 



Bei den obigen Transformationen übergeht jedes erste Inte- 

 gral von der eben erwähnten Form wieder in ein solches ; darum 

 kann statt (1) die — einfachere — transformirte Gleichung unter- 

 sucht werden. 



In dem zuerst erledigten Falle hat die Gleichung 



df 



sogar ein erstes Integral mit drei Functionen 



