52 MICHAEL DEMECZKY. 



Unsere Aufgabe wird es vor allem sein, den grössten gemein- 

 schaftlichen Teiler zu zwei beliebigen algebraischen ganzen Func- 

 tionen /(:») und (fix) für den Modul p zu suchen. 



/ {x) =(p{x) . /; {x) + 1\ {x) (mod p) . 



Hier ist die Function i\{x) schon von niedererem Grade, als 

 (p{x). Wenn die Congruenzen /(ij;)=0 und ^(a;)=0 eine gemein- 

 schaftliche reelle Wurzel haben, so ist diese auch eine Wurzel der 

 Congruenz i\{x)^0. Und die gemeinschaftliche Wurzel der Con- 

 gruenzen <p{x)'^0 und rj(a;)=0 ist zugleich die gemeinschaftliche 

 Wurzel der Congruenzen/(:j:;)=0 und (p{x)^0. Ebenso sei: 



<p{x)=i\{x)f<^{x)^-uS^) 

 i\{x)=i\ix)foSx)-]-rQ{x) 



r,_<i{x) =r,-t{x)j,{x) -\rry{x) 

 i\^-i{x)=ry{x)f,+x{x) 



(mod p) 



wo i\+\{x) schon identisch ^0 (mod p), d. h. jeder ihrer Coefficien- 

 ten =0 (mod p). Dann ist der grösste gemeinschaftliche Teiler von 

 f{x) und (p{x) congruent mit i\{x) für den Modul p. 



Die gemeinschaftlichen reellen Wurzeln der Congruenzen 

 /(a;) =0 und ^(^) =0 sind zugleich Wurzeln der Congruenz ry{x) =0. 

 Die reellen Wurzeln der Congruenz r,,(a;)^0 sind insgesammt ge- 

 meinschaftliche reelle Wurzeln der Congruenzen /(a;)=0 und 

 ^(^)=0. Wenn demnach die Congruenz rv(^)=0 keine reelle Wur 

 zel besitzt, so haben auch die Congruenzen /'(a;)=0 und ^(a;)=0 

 keine gemeinschaftliche reelle Wurzel. 



Suchen wir nun den grössten gemeinschaftlichen Teiler Ja;=0 

 (mod p) der unter 1) angeführten Congruenz /(a;)=0 (modp) und 

 der Congruenz jF'(rc)=Ä;^ — a;=0 (mod p). Nach einem bekannten 

 Satze hat die Congruenz J(a;) =0 (mod p), wenn sie v-ten Grades ist, 

 V verschiedene Wurzeln. Und eben diese stellen sämmtliche ver- 

 schiedene reelle Wurzeln der unter 1) angeführten Congruenz /(^)=0 

 dar. Auf den Fall der sogenannten vielfachen Wurzeln werden wir 

 später Gelegenheit haben zurückzukehren. 



