BEITEAG ZUE THEORIE DER CONGRUENZEN HÖHEREN GRADES. 



II. 



Wir werden uns jetzt mit der Untersuchung solcher Congruenzen 

 höheren Grades beschäftigen, die sich auf den zusammengesetzten 

 Modul m=/)^i .p^- . p^" . . . i?,^n beziehen. 



Die zu untersuchende Congruenz sei : 



/(a;)=öo^"+%^'"'"^+ • • • +c(i.t-i{x)+aa=0 (mod m) . (2) 



Damit diese Congruenz eine reelle Wurzel habe, ist es not- 

 wendig und hinreichend, dass jede der Congruenzen 



f{x)=0 (mod pfi) [2=1, 2. 3, ... w] ... (3) 



eine reelle Wurzel habe (Dirichlet-Dedekind 86). Wenn nun die 

 reellen Wurzeln der unter 2) befindlichen Congruenz der Eeihe 

 nach: «j «.2, . . . «'* sind, und ferner x=ai (mod p^i) {i=l, 2, 3, 

 ... 7?) : so ist X eine Wurzel der Congruenz (2). 



Wenn also die Congruenzen unter (3) der Eeihe nach A^, /l^, 

 /I3, . . . ?.n reelle Wurzeln besitzen, so ist die Anzahl der reellen 

 Wurzeln in der unter (2) angeführten Congruenz : 



^1 • h • ''3 • • • ■^'« 



Unsere Untersuchung lässt sich demnach auf die Betrachtung 

 einer solchen Congruenz zurückführen, deren Modul eine einfache 

 Primzahlpotenz ist. Nehmen wir zu diesem Behufe folgende Con- 

 gruenz an : 



f{x)=a(^^'+aiXi^'''^+a<^x'-'''^-^ . . . <:/^,_ia:+«^=0 (mod p"^). (4) 



Damit diese Congruenz eine reelle Lösung habe, ist nötig, dass 

 die Congruenz 



f{x) = (modp) (5) 



reell lösbar sei. Die zu letzterem Zwecke notwendige und hinrei- 

 chende Bedingung gaben wir im vorigen Abschnitte an. Jetzt haben 

 wir nur die Frage zu beantworten, ob man zu jeder Wurzel der 

 Congruenz unter (5) wenigstens eine Wurzel für die unter (4) an- 



