54 MICHAEL DEMECZKY. 



geführte Wurzel construiren könne. Zu diesem Zwecke werden ^^^ 

 zu erfahren trachten, ob sich zur Wurzel « der Congruenz/(;r)=0 

 (mod p") wenigstens eine Wurzel für die Congruenz /'(a;)=0 

 (mod ^'^+^) construiren lasse. 



Wenn a eine Wurzel der Congruenz f{x)^0 (modp'^) ist, so 

 i^if{a) — h.'p°. Es sei nun x=a-}-y'p". Damit x eine Wurzel der 

 Congruenz /(a;)=0 (mod ^9°^+^) sei, ist notwendig, dass 



f{a-]-yp")=0 {modp"-^^) sei. 

 Demnach 



(mod^'^+1), 

 h+f'{a)y = (mod p) (6) 



daher : 



Wenn wir also y so bestimmen können, dass damit der unter 

 (6) ausgeführten Congruenz Genüge geleistet werden kann, so ist 

 x=a^yp'^ eine Wurzel der Congruenz /(a;)=0 {mod p^'^^). Diese 

 lineare Congruenz ist möglich u. z. mit einer Lösung für y, wenn 

 f'{a) durch p nicht teilbar ist. Wir wissen (Gauss W. Bd. IL 235), 

 dass die Congruenz y(a)=0 (mod p) soviel bedeutet, dass a eine 

 vielfache Wurzel der Congruenz /(^)=0 (mod p) sei, oder — ge- 

 nauer gesagt — dass die Function f{x) auch durch die n-te Potenz 

 der linearen Function x — a teilbar sei für den Modul p (wo w>l). 



Wenn also a nicht eine vielfache Wurzel der Congruenz /(^) =0 

 ist [dies können wir immer leicht entscheiden, wenn wir den grössten 

 gemeinschaftlichen Teiler d{x) der Functionen f(x) und f'{x) für 

 den Modul j9 suchen; die reellen Wurzeln der Congruenz dx^O 

 (mod p) liefern nämlich die vielfachen Wurzeln der Congruenz 

 f{x)^0 (modp)], 80 sind f'{a) und p relative Primzahlen und die 

 Congruenz unter (6) hat also eine Lösung. Wir können daher zu 

 einer derartigen Wurzel a der Congruenz /(^)=0 (mod p^) eine 

 Wurzel (aber auch nur eine einzige) für die Congruenz f{x)^0 

 (modj9''+^) construiren. 



Das Eesultat, zu dem wir bisher gelangt sind^ ist also : « Wenn 

 ■die Congruenz f {x)~0 (mod pj A verschiedene reelle Wurzeln hat, 

 die nicht vielfache Wurzeln sind, so können wir aus diesen für die 



