BEITEAG ZUE THEORIE DER CONGRUENZEN HÖHEREN GRADES. 



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Congruenzf{x)=0 (mod p"") je eine Wurzel, zusammen also X Wur- 

 zeln, construiren. 



Wenn demnach unter den folgenden Congruenzen : 



/(a;)=0 (modp.) (^•=l,2, 3, ...n) . ... (7) 



keine eine vielfache Wurzel hat, und wenn die Anzahl ihrer reellen 

 Wurzeln der Eeihe nach l^, 1,2, - . . Xn ist, so ist die Anzahl der 

 Wurzeln in den unter (3) angeführten Congruenzen auch X^, A^, 

 ^3, . . . Xn, und daher die Anzahl der Wurzeln in der Congruenz 

 unter (2) X^ . Ag . X-^ . . . Xn. 



Wir sehen also, dass wenn unter den Congruenzen /(^)=0 

 (mod p.) keine eine vielfache Wurzel hat, so ist die notwendige und 

 hinreichende Bedingung dafür, dass die Congruenz unter (2) eine 

 reelle Lösung habe, nichts anderes, als dass jede der Congruenzen 

 in (7) eine reelle Lösung habe. 



Es gibt einen Fall, in dem, wenn man es auch mit einem zu- 

 sammengesetzten Modul zu tun hat, die Notwendigkeit, die vielfachen 

 Wurzeln zu untersuchen, wegfällt. 



Dies ist nämlich dann der Fall, wenn der Modul das Product 

 der ersten Potenzen von verschiedenen Primzahlfactoren ist. Es sei 

 die zu untersuchende Congruenz : 



f{x)=aQX!-'--\-a^x^'--^-{- . . . H-a^,_i^+a^ = (mod m) . (8) 

 (wo m=pi.p^.p.^ . . . pj, 



so ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die 

 Congruenz in (8) lösbar sei — ohne jede Eücksicht auf die viel- 

 fachen Wurzeln — die, dass jede der folgenden Congruenzen : 



f{x)=Oimodp,) (z-1, 2, 3, ...77) 

 lösbar sei. 



Ist die Zahl der reelen Wurzeln in den Gleichungen unter (9) 

 Xi, Xu2, Xg, . . . Xn, so ist die Anzahl der Wurzeln in der unter (8) an- 

 geführten Congruenz : X^ . X^. X-^ . . . Xn. 



Damit also die Congruenz in (8) m Wurzeln habe, ist es not- 

 wendig und genügend, dass die unter (9) angeführten Congruenzen 

 jede Zahl befriedige. Solche Congruenzen können wir für den Modul 

 m^=Pi . P2 . ^3 . . . p,j^ sehr leicht construiren, ja sogar ihre Anzahl 



