BEITEÄG ZUR THEORIE DER CONGRUENZEN HÖHEREN GEADES. 



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Wir kehren nun zu dem Falle des zusammengesetzten Moduls 

 m —p^i p^2 . . . p^^n zurück. Für den Fall, dass a nicht eine viel- 

 fache Wurzel der Congruenz in (5) ist, haben wir unsere Unter- 

 suchung durchgeführt. Wenn jedoch « eine vielfache Wurzel der 

 Congruenz /'(a;) = (mod p) ist, so ist f'{x) durch p teilbar; in die- 

 sem Falle ist also die hneare Congruenz unter (6) nur dann lösbar, 

 wenn }i=0 (mod p), d. i. wenn f{x)—g . p"+^ Und dann können 

 wir zu einer derartigen Wurzel « der Congruenz /(rc)=0 (mod p") 

 j) Wurzeln {x=a-\-'i)p'', wo ?/=0, 1, 2, 3, . . . p — 1) für die Con- 

 gruenz / (^)=0 (mod p"'^^) construiren. 



Wir können nun leicht jene Bedingungen zusammenfassen, 

 unter deren Voraussetzung die Congruenz in (2) gerade m von ein- 

 ander verschiedene reelle Wurzeln hat. Hier können wir ebenso, 

 wie in dem Falle des zusammengesetzten Moduls w— p^ .p^.p.^. . . pn, 

 jene notwendigen und hinreichenden Bedingungen erforschen, unter 

 denen die Congruenz in (2) oben m verschiedene Wurzeln habe. 

 Diese Bedingungen bestehen darin, dass die Congruenzen in (3) ins- 

 gesammt Identitäten seifen. 



Diese lassen sich wieder auf folgende notwendige und hinrei- 

 chende Bedingungen zurückführen : 



I. Die Congruenzen 



/(a:)EEO(mod^.) 



mögen für jedes p., wo ni=l, zu Identitäten werden, wenn wir ihren 



Grad mittels der Fermatischen Congruenz xP—x^O auf p, — 1 



herabmindern. 



IL Die Congruenzen 



f'ix) = (mod p) 



mögen für alle jene ttj, wo ttj^I, zu Identitäten werden, wenn wir 

 ihren Grad Siufp.— l reduciren. 

 III. Diesen Congruenzen 



f{k)=0 {mod pfj) 

 [fc-0, 1, 2, 3.. .(p.-l)] 



möge insgesammt Genüge geleistet sein, wenn -y>l. 



