ENDLICH-GLEICHE FLÄCHEN. 171 



Den Beweis des Satzes 1, wie auch die Ableitung des dritten 

 Satzes aus dem zweiten giebt Bölyai in aller Strenge, Der Beweis des 

 zweiten Satzes hingegen entspricht den Forderungen der Strenge 

 durchaus nicht. In der That führt seine Construction in fast eben- 

 sovieleu Fällen zu einer endlichen als unendlichen Anzahl gegen- 

 seitig congruenter Stücke der Eestliächen. Bölyai hat diesen Mangel 

 bemerkt und den Beweis mit dem Nachweis ergänzen wollen, dass 

 die Eestflächen im letzteren Fall congruente Stücke enthalten 

 müssen, nach deren Entfernung seine Construction zu einer end- 

 lichen Anzahl congruenter Stücke führt. Man sucht bei ihm jedoch 

 vergeblich eine Methode, wie jene zu entfernenden Stücke con- 

 struirt werden sollen, noch giebt er überhaupt die Bedingungen 

 der directen Ausführbarkeit seiner Constructionen an. 



Ein über diesen Beweis mit Herrn Dr. Julius König gepflo- 

 gener Gedankenaustausch gab Veranlassung zu vorliegenden Unter- 

 suchungen, und ich spreche dem genannten Herrn auch bei dieser 

 Gelegenheit meinen Dank für das Interesse aus, welches er den- 

 selben entgegenbrachte. 



Meine Resultate sind folgende : 



a) Damit zwei ebene Flächen von gleichem Inhalt endlich - 

 gleich seien, ist notwendig und hinreichend, dass die krummlini- 

 gen Begi'enzungen teils aus gegenseitig congruenten Stücken 

 bestehen, deren Krümmungssinn (relativ zu den eingeschlossenen 

 Flächen) von Punkt zu Punkt übereinstimmt, teils aus Stücken, 

 die auf ein und derselben Fläche eben so oft vorkommen mit 

 positivem als negativem Krümmungssinn (siehe Fig. 7a, 7b). 



Dass dies genügende Bedingungen zur endlichen Gleichheit 

 zweier Flächen sind, folgt sehr leicht aus dem ersten BÖLYAi'schen 

 Satz ; und der zweite BÖLYAi'sche Satz ist in a) als Specialfall ent- 

 halten, wie auch die folgende Verallgemeinerung : 



b ) Schneidet man aus endlich-gleichen Flächen endlich- 

 gleiche Stücke heraus, so sind die Beste auch endlich-gleich. 



Aus diesem Satz folgt, dass die BÖLYAi'sche Definition der 

 endlichen Gleichheit zweier Flächen die gewöhnliche vollstän- 

 dig deckt. 



c ) Ich modificire die BÖLYAi'sche Construction durch Ein- 

 führung des gegenseitigen Drehungscentrums, respective der Dre- 



